三元一次方程及其解法.docx

三元一次方程及其解法 三元一次方程及其解法 1 / 1 1 / 1 三元一次方程及其解法 三元一次方程及其解法 1 / 1 1 / 1 三元一次方程及其解法 三元一次方程及其解法 1/1 1/1 三元一次方程组及其解法 1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程 2。三元一次方程组：由三个一次方程（一元、二元或三元）组成并含有三个未知 数的方程组叫做三元一次方程组 .三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元 .三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程 组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程. 例题解析 一、三元一次方程组之特殊型 x+y + Z = 12 ① 例1:解方程组［x + 2y + 5z = 22② x = 4）， ③ 分析：方程③是关于X的表达式，通过分人芳元片可直接转化为二元一次方 程组，因此确定“消X”的目标. 解法1：代入法,消X。 把③分别代入①、②得《5y + z = \2 ④6y+ 5z = 22 ⑤ 把③分别代入①、②得《 解得、= 解得 、=2,z = 2. 把y=2代入③，得x=8。 ??.y = 2,是原方程组的解。 z = 2. 根据方槎组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一:有表达式，用代入法型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺Z,因此利用①、②消Z,也能达 到消元构成二元一次方程组的目的。 解法2:消z。 ①X5 得 5x+5y+5z=60 ④ ④一②得4x+3y=38 ⑤ 由③、⑤得《x 由③、⑤得《 x = 4y ③4x + 3y = 38 ⑤ 解得 b = 2. 把x=8, y=2代人①得Z二2。 x = 8, ??.)，= 2,是原方程组的解. z = 2. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型。 2x + y + z = 15 ① 例2:解方程组＜ x + 2y + z = 16 ② x + y + 2z = \l ③ 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等：每一个未知数的系数 之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方 程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。 解：由①+②+③得4x+4y+4z=48, 即 x+y+z=12 o @ ①-④得x=3, ②一④得y=4, ③-④得z二5, x = 3, .?.), =4,是原方程组的解。 z = 5. x+y = 20,① 典型例题举例：解方程组(y + z = 19, ② x + z = 21.③ 解：由①+②+③得2 (x+y+z) =60 , 即 x+y+z=30 o ④ ④-①得z=10, ④一②得y=11, ④一③得x二9, 三元一次方程及其解法 三元一次方程及其解法 1 /1 1 /1 三元一次方程及其解法 三元一次方程及其解法 1/1 1/1 x = 9, A y = 11,是原方程组的解。 z = 10. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型。 例3:解方程组『)：Z = 1：2：7 ? 2x-y + 3z = 2\ ② 分析1:观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经脸, 看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x;由x:z=1:7 得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即 1=2x,① Z = 7x, ② ，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求 2x - y + 3z = 21. (3) 解. 解法1：由①得y=2x, z=7x ,并代入②，得x=1. 把 x=1,代入 y=2x,得 y=2; 把 x= 1,代入 z=7x,得 z=7. x = 1, 是原方程组的解。 Z = 7. 分析2:由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k,因此由方程①x: y:z=1: 2： 7,可设为x=k,y=2k, z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通 过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法2:由①设x=k, y=2k, z=7k,并代入②，得k=1。 把k=1,代入x=k,得x=1; 把 k= 1,代入 y=2k,得 y=2; 把 k=1,代入 z=7k,得 z=7o x = 1, ??.)，=2,是原方程组的解。 z = 7. x + y + Z = 111 ① 典型例题举例：解方程组（），：x = 3:2 ② y : Z = 5:4 ③ 分析1:观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由 例3的解题经脸，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得y：由③得 3 4 z二—），.