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导数知识点归纳及应用 ●知识点归纳 一、相关概念 1．导数的概念 函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有增量 y =f （x 0 + x ）－f （x 0 ），比值 y 叫做函数 y=f （x ）在 x 0 到 x 0 + x 之间的平均变化率，即 x y = f (x0 x) f (x0 ) 。如果当 x 0 时， y 有极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x x x x 处可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 处的导数，记作 f ’（x ）或 y ’| 。 0 0 0 x x 0 y f ( x x) f ( x ) 即 f （x 0 ）= lim = lim 0 0 。 x 0 x 0 x x 说明： （1）函数 f （x ）在点 x 0 处可导，是指 x 0 时， y 有极限。如果 y 不存在极限， x x 就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。 （2 ） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x 0 时，而 y 是函数值的改变量，可以是 零。 由导数的定义可知，求函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的步骤： ① 求函数的增量 y =f （x 0 + x ）－f （x 0 ）； y f (x x ) f (x ) ② 求平均变化率 = 0 0 ； x x ③ 取极限，得导数 f ’(x 0 )= lim y 。 x 0 x 例： 设 f(x)= x|x|, 则 f ′( 0)= . [ 解析 ] ：∵ lim f (0 x) f (0) lim f ( x ) lim | x | x lim | x | 0 ∴f ′( 0)=0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x 2 ．导数的几何意义 函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率 是 f ’（x 0 ）。 相应地，切线方程为 y －y 0 =f /