专题24以几何体为载体的应用题(解析版).docxVIP

. . 专题 24 以几何体为载体的应用题 在江苏高考的试题中 ,应用题是每年必考的题型 ,应用题主要表达了学生运用数学知识解决实际问题的能力 .近几年来应用题以几何背景呈现的居多 ,特别是一些几何体如直棱柱、圆锥、圆柱、球等简单的几何体的面积或体积有关 .因此 ,在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题 . 解决此类问题的关键明确各个量之间的关系 ,运用立体几何的知识点求出各种量 ,然后表示出面积、体积建立目标函数 . 一、例题选讲 题型一、多面体有关的应用题 例 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调 )一栋新农村别墅 ,它由上部屋顶和下部主体两局部组成．如图 ,屋顶由 四坡屋面构成 ,其中前后两坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形 ,左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全等的三角形．点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H,M.HM ＝ 5 m,BC ＝ 10 m,梯形 ABFE 的面积是 △FBC 面积 θ4 .的 2.2 倍．设 △FMH＝ θ 0 θ 4 . 求屋顶面积 S 关于 θ的函数关系式； 上部屋顶造价与屋顶面积成正比 ,比例系数为 k(k 为正的常数 ),下部主体造价与其高度成正比 ,栋上、下总高度为 6 m 的别墅 ,试问：当 θ为何值时 ,总造价最低？ 思路分析 (1)先通过线面垂直得到 FH△HM, 放在 Rt△FHM 中,求出 FM, 根据三角形的面积公式求出 △ FBC 的面积 ,根据条件就可以得到所求 S 关于 θ的函数关系式． (2)先求出主体高度 ,进而建立出别墅总造价 y 关于 θ的函数关系式 ,再通过导数法求函数的最小值． 标准解答 由题意 FH△ 平面 ABCD,FM△ BC, 又因为 HM△ 平面 ABCD, 得 FH△ HM.(2 分) 在 Rt△FHM 中,HM ＝ 5, △FMH＝ θ, 所以 FM ＝ 5 .(4 分) cosθ 1 5 25 因此 △FBC 的面积为 2× 10×cos ＝ cos . θ θ 从而屋顶面积 S＝ 2S 25 ＋ 2× 25 160 θ△FBC＋ 2S 梯形 ABFE ＝ 2×cosθ θ cos ×＝cos . θ所以 S 关于 θ的函数关系式为 S＝ 160 0 π θ cosθ θ4 .(6 分) 在 Rt△ FHM 中,FH＝ 5tanθ所,以主体高度为 h＝ 6－ 5tanθ .(8分) 所以别墅总造价为 y＝S·k＋ h·16＝k 160 k－ 80sinθ＋ 96k ＝ 80k 2－sinθ ＋ 96k.(10 分) cosθ cos k cosθ 记 f(  2－ sinθ π θ 2sinθ－ 1 θ＝) cosθ ,0 θ4,所以 f ′ (＝θ)cos2θ , 令 f ′(＝θ0),得 sinθ＝1,又 0 π π 分) 2 θ4,所以 θ＝ 6.(12 列表： π π π π θ 0， 6 6 6， 4 f ′ ( θ) － 0 ＋ f( θ) 3 π 所以当 θ＝ 6时,f( θ有)最小值． 答：当 θ为 π 时,该别墅总造价最低． (14 分) 6 解后反思 理解题意 ,建立出函数的关系式 ,是处理最优解类型应用问题的关键 ,第 (1) 问,抓住条件〞梯形ABFE 的面积是 △〞,只要用 θ表示出 △ FBC面积,即可得到屋顶面积． 第 (2) 问,需要先设出总造价为 y 元,抓住条件 ,求出主体高度并结合第 (1) 问中求得的屋顶面积 ,就可以建立函数关系式． 题型二、与球、圆有关的应用题 例 2、(2018 苏北四市期末 )某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品 ,该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组 成,圆锥的侧面用于艺术装饰 ,如图 1,为了便于设计 ,可将该礼品看成是由圆 O 及其内接等腰三角形 ABC 绕底 边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180°而成 ,如图 2,圆 O 的半径为 10 cm,设△BAO＝ θ,0 π 2θ,圆锥的侧面积为 S 2 cm2. 求 S 关于 θ的函数关系式； 为了到达最正确欣赏效果 ,要求圆锥的侧面积 S 最大 ,求 S 取得最大值时腰 AB 的长度． (图 1) ( 图 2) 思路分析 (1) 母线长 l 是 OA 在 AB 上的射影的两倍 ,可用 θ表示．底面半径 r 是 l 在底面上的射影 ,可用 l 和 θ表示．从而 S＝ πrl 可用 θ表示； (2) 求导数 ,找导函数的零点 ,列表确定极大值 ,唯一的极大值也是最大值． 标准解答 (1) 设 AO 交 BC 于点 D, 过 O 作 OE△AB, 垂足为 E. 在△AOE 中,AE ＝ 10cosθ,A