不等式的证明一教案.pdf

不等式的证明 ( 一） 教学目标 （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法 和分析法的意义； （2 ）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等 式； （3 ）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式； （4 ）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养 学生分析问题、解决问题的能力； （6 ）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力 和抽象思维能力； （7 ）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的 参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习 惯．教学建议 （一）教材分析 1 ．知识结构 2 ．重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反 的； ②综合性问题选择适当的证明方法． （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成 立 （或都不成立） ，而并非是带入具体的数值去验证式子 是否成立． （2 ）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、 最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较 法两种途径． 由于，因此，证明，可转化为证明与之等价的．这 种证法就是求差比较法． 由于当时，，因此，证明可以转化为证明与之等价 的．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不 等式时，一定要注意的前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形—— 断号”． 其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目 的． 变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值 是多少． 变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解 的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形 为一个常数与一个或几个数的平方和的形式．或者变形 为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等． 总之．能够判断出差的符号是正或负即可． ④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形—— 判断商式与 1 的大小关系”，需要注意的是，作商比较 法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明． （3 ）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推 倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综 合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式 出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是： …． （已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论） ④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条 件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证 之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在 分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件， 进行有效的变换是证明不等式的关键． （4 ）分析法证明不等式的分析 ①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的 充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不 等式成立，这种证明方法就是分析法． 有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立， 逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中 的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等 式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都 可逆”，并说出可逆的根据． ②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式 出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等 式．它与综合法是对立统一的两种方法． ③用分析法证明不等式的逻辑关系是： …． （已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论） ④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不 易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分” 条件，二是不易正确使用连接有关 （分析推理）步骤的关 键词．如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假 定……成立”等． ⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当 证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解 决．特别