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二次曲线上的四点共圆问题的完整结论 百年前，著名教材《坐标几何》 (Loney 著) 中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是 2 2 这四点的离心角之和为周角的整数倍 ( 椭圆 x y 1(a 0, b 0) 上任一点 A 的坐标可 2 2 a b 以表示为 ( a cos , bsin )( R) ，角 就叫做点 A 的离心角 ) ，证明方法十分巧妙， 还要运 用高次方程的韦达定理 . 这一条件是否充分， 一直是悬案 . 在 20 世纪 80 年代编写 《数学题解 辞典 ( 平面解析几何 ) 》时，仍未解决 . 到 20 世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证 明了此条件的充分性 . [1,2] 2016 年高考四川卷文科第 20 题， 2011 年高考全国大纲卷理科第 21 题， 2005 年高考湖 北卷理科第 21 题 ( 也即文科第 22 题 ) 及 2002 年高考江苏、 广东卷第 20 题都是关于二次曲线 上四点共圆的问题 ( 见文献 [3,4]). 笔者曾由 2005 年的这道高考题得出了二次曲线上四点共 圆的一个简洁充要条件 ( 其证明也很简洁但有技巧 ) ： 若 两 条 直 线 l i : y y 0 ki (x x0 )( i 1,2) 与 二 次 曲 线 2 2 : ax by cx dy e 0(a b) 有 四 个 交 点 ， 则 这 四 个 交 点 共 圆 的 充 要 条 件 是 k k 0 1 2 . 文献 [2] 还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周 角的整数倍” . 文献 [5] 用较长的篇幅得出了下面的两个结论 (即原文末的命题 7、8) ： 2 结论 1 抛物线 y 2 px 的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对 边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补 . 2 2 结论 2 圆锥曲线 mx ny 1(mn 0, m n) 的内接四边形同时内接于圆的充要条 件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补 . 请注意，文献 [5] 中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确 . 但不够完整， 本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论 4. 定理 1 若两条二次曲线 ax2 by2 cx dy e 0( a b)，a x2 b y2 c x d y e 0 有四个交点，则这四个交点共圆 . 证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式 ( , 不同时为 0) ： 2 2 2 2 (ax by cx dy e) ( a x b y c x d y e ) 0 ①