概率论5-1-2-习题课.ppt

第五章 大数定律与中心极限定理;第一节 大数定律; 第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发 生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性 的，但随着试验次数n的增大，频率将会逐渐稳 定且趋近于概率。特别，当n很大时，频率与概 率会非常“接近”的。这个非常“接近”是什么意思？ 这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从 理论上讨论这一问题。 ;定理1 设随机变量的数学期望EX=? ，方差DX=? 2，则对任意的正数?，不等式 (1) 成立。这个不等式称为契贝雪夫(Cheby shev)不等式。 ; 式(1)表明当DX很小时，概率P{|X-EX|≥?} 更小。 这就是说在上述条件下，随机变量X落入EX的?邻域 之外的可能性很小，也即落入EX的?邻域内可能性 很大。由此说明X的取值比较集中，也即离散程度较 小，这正是方差的意义所在。 契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有很重要的价值。 ;例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白细胞的平均数是7300，均方差是700。试估计每毫升血液中白细胞数在5200～9400之间的概率。;定理2 （伯努利(Bernoulli)大数定律）设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数 0，有 ;易知 ;又由X1，X2，…，Xn的独立性可知; 设Y1，Y2，…，Yn，…是一个随机变量序列，a是一个常数，若对任意的正数 ，有 ;定理3（契贝雪夫大数定律）设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，又设它们的方差有界，即存在常数c0，使得 ; 伯努利大数定律是契贝雪夫大数定律的特例, 在它们的证明中, 都是以契贝雪夫不等式为基础的, 所以要求随机变量具有方差。但进一步的研究表明，方差存在这个条件并不是必要的。即有下面的独立同分布的辛钦大数定律。; 这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径。 ;三、典型例题;说明每一个随机变量都有数学期望,;解;四、小结;第二节 中心极限定理;一、问题的引入; 定理5（独立同分布的林德贝尔格-勒维(Lindeberg－Levy)中心极限定理）设X1，X2，…，Xn，…是相互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数学期望和方差： ;两点说明： ;2°因为对 ;例1 设有100个电子器件，它们的使用寿命 X1，X2，…，X100均服从参数为?=0.05(h-1)的指数分布，其使用情况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。令?表示这100个电子器件使用的总时间，试求X超过1800h小时的概率。;又由题设知 ，因此由定理5得： ;作为定理5的推论有 ; 证 由§5.1的定理2的证明可知，Yn可以看成是n个相互独立，且服从同一(0-1)分布的随机变量X1，X2，…，Xn之和，即;下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.; 定理7（李雅普诺夫Liapunov定理）设随机变量 X1，X2，…，Xn ，…相互独立，且 ;不难看出，当n很大时， ; 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3o 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 500～30 500次纵摇角大于 3o 的概率是多少？;所求概率为; 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.;保险公司亏本的概率;证;根据独立同分布的中心极限定理，;例5 随机变量X 表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出现的次数。试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n： ;解：记 ;(2)以Xi 表示每次试验时A出现的次数，则Xi 服从参数为p的0-1分布，且EXi =p，DXi =p(1-p) ，而 ;因此有 ;例6 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。 (1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ (2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？ ;解：(1)以X表示100人中治愈人数，则X ~B(100，0.8) ;三、小结;第五章 大数定律及中心极限定