概率论与数理统计 第五章 二维随机变量及其分布.ppt

第五章　二维随机变量及其分布;第一节　二维随机变量及其分布函数;二、二维随机变量的分布函数 　设(ξη)是二维随机变量，(ξη)?R2, 则称F(x,y)=P{ξ?x,η?y}为(ξη)的分布函数，或ξ与η的联合分布函数。;三、分布函数的性质 （1）对于任意x,y ?R，有0≤F(x,y)≤1。 （2）F(x,y)关于x（或y）单调不减。 （3）F(x,y)关于x（或y）右连续。 （4）F(-∞,-∞)＝0，F(+∞,+∞)＝1 　　 F(-∞,y)＝0，F(x,-∞)＝0 （5）对于任意x1x2，y1y2有　P(x1ξ≤x2,y1η≤y2) =F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1);例题1 　　设(ξη)的联合分布函数为F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，其中x,y?R。求常数A，B，C。 解：;第二节　二维离散型随机变量;(ξη)的联合分布律; 　　设(ξη)的所有可能取值为(xi,yj)，其中i,j=1,2,…称 为(ξη)的联合概率分布，也简称概率分布。 　　（1）0≤Pij≤1 　　（2）∑i∑j Pij=1;例题2 　　一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。以ξ,η分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字。 求（1）(ξ,η)的分布律 　（2）P(ξ≥η) 解: (1);例题2 　　一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。以ξ,η分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字。 求（1）(ξ,η)的分布律 　（2）P(ξ≥η) 解: (2);第三节　二维连续型随机变量;二、联合密度函数性质;例题3　 　　1.设(ξη)的联合概率密度为 求（1）常数C 　（2）P(ξ≥η) 解：（1）;例题3　 　　1.设(ξη)的联合概率密度为 求（1）常数C 　（2）P(ξ≥η) 解：（2）;例题3续 　　2.设(ξ，η)的联合概率密度为 求（1）常数k 解（1）;(2) ;（3）F(x,y)=P(ξ≤x,η≤y);F (x,y) =;三、常见二维连续型随机变量分布 1.二维均匀分布 　　如果(ξη)的联合概率密度为 其中G是平面上某个区域，则称(ξη)～U(G)。 ;2.二维正态分布 　　如果(ξη)的联合概率密度为 则称(ξη) ～ N(?1,?12;?2,?22;? )，其中?1,?20，-1? 1。;例题4 (ξη)～U(G)，G={0≤y≤x，0≤x≤ 1} 求（1）f( x, y ) （2）P(ηξ2 ) （3）(ξη) 在平面上的落点到y 轴距离小于0.3的概率。 解：（1）;例题4 (ξη)～U(G)，G={0≤y≤x，0≤x≤ 1} 求（1）f( x, y ) （2）P(ηξ2 ) （3）(ξη) 在平面上的落点到y 轴距离小于0.3的概率。 解：　（2）;例题4 (ξη)～U(G)，G={0≤y≤x，0≤x≤ 1} 求（1）f( x, y ) （2）P(ηξ2 ) （3）(ξη) 在平面上的落点到y 轴距离小于0.3的概率。 解：　（3）;第四节　边缘分布;例题5 　　设(ξη)的联合分布函数为 求Fξ(x)和Fη(y)。 解：;二、（离散型）边缘分布律 　　设(ξη)的联合分布律为P(ξ=xi,η=yj)=Pij　（i,j=1,2,…） 关于ξ的边缘分布律 P(ξ=xi)= P(ξ=xi,η+∞)=∑jPij =Pi. 关于η的边缘分布律 P(η=yj)= P(ξ+∞,η=yj)=∑iPij =P.j;例题6 　　箱子装有10件产品，其中2件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取2次。 求（1）(ξη)的联合分布律 　（2）关于ξ的边缘分布律 解：　 （1）;例题6 　　箱子装有10件产品，其中2件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取2次。 求（1）(ξη)的联合分布律 　（2）关于ξ的边缘分布律 解: (2);三、（连续型）边缘密度函数 　　设(ξη)的联合概率密度为f(x,y)， 关于ξ的边缘分布函数 关于ξ的边缘密度函数 ;例题7 1.(ξη)～U(G) ，G＝{0x1,|y|x}, 求（1）f(x,y) 　（2）fξ(x) 　（3）fη(y) 解：　（1）;例题7 1.(ξη)～U(G) ，G＝{0x1,|y|x}, 求（1）f(x,y) 　（2）fξ(x) 　（3）fη(y) 解：　（2）;例题7 1.(ξη)～U(G) ，G＝{0x1,|y|x}, 求（1）f(x,y) 　（2）fξ(x) 　（3）fη(y) 解：　（