复变课件第5章习题课.pptx

一、重点与难点重点：留数的计算与留数定理难点：留数定理在定积分计算上的应用二、内容提要可去奇点函数的零点与极点的关系孤立奇点极点本性奇点对数留数计算方法留数留数定理辐角原理路西原理留数在定积分上的应用在 不解析, 但在1）定义 如果函数的某一去心邻域内处处解析, 则称内的洛朗级数的情况分为三类:为的孤立奇点.孤立奇点奇点依据在其孤立奇点的去心邻域1. 孤立奇点的概念与分类2）孤立奇点的分类i) 可去奇点;ii) 极点;iii) 本性奇点.定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末孤立奇点 称为 的可去奇点. i) 可去奇点的定义 如果洛朗级数中只有有限多个的最高幂为负幂项, 其中关于即或写成那末孤立奇点称为函数的级极点.ii) 极点 (a) 由定义判别的洛朗展开式中含有的负幂项为有限项.在点 的某去心邻域内其中 在 的邻域内解析, 且(c) 利用极限判断 .极点的判定方法(b) 由定义的等价形式判别如果洛朗级数中含有无穷多个的负幂项,称为那末孤立奇点的本性奇点.注意: 在本性奇点的邻域内为不存在且不iii)本性奇点ii)零点与极点的关系不恒等于零的解析函数如果i) 零点的定义如果是就是的 m 级极点, 那末其中在能表示成的 m 级零点. 反过来也成立.解析且那末m为某一正整数,称为的 m 级零点. 3)函数的零点与极点的关系定义 如果的一个孤立奇点, 则沿的内包含的值除任意一条简单闭曲线 C 的积分后所得的数称为以记作 2. 留数1)留数定理 设函数在区域 D内除有限个孤立奇点外处处解析, C 是 D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 那末留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.为(1) 如果的可去奇点, 则为展开(2) 如果的本性奇点, 则需将成洛朗级数求为的极点, 则有如下计算规则(3) 如果如果 为 的一级极点, 那末2)留数的计算方法 a) b)如果 为 的 级极点, 那末在都解析，设及 c)如果那末为一级极点, 且有设函数在圆环域内解析1.定义C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分的值与C无关 , 则称此定值为在的留数.记作也可定义为 3)无穷远点的留数如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末在所有各奇点 (包括 点)的留数的总和必等于零. 定理历经变程的当时, z 沿单位圆周3. 留数在定积分计算上的应用1）三角函数有理式的积分正方向绕行一周. 2）无穷积分3）混合型无穷积分 特别地定义具有下列形式的积分:其中, N为 f(z)在C内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数.且C取正向. 4.对数留数如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量. 路西定理 辐角原理三、典型例题解解例2 求函数 的奇点，并确定类型.是奇点.是三级极点.是二级极点;解例3 证明 是 的六级极点.证例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.(1)在 内,解解为奇点,当 时 为一级极点，解的一级极点为解 为一级极点， 为七级极点.例5 计算积分解由留数定理得例6 在 内,解例7 计算 解例8 计算令解极点为：例9 计算积分其中解极点为由留数定理，有例10 计算积分解在上半平面内有一级极点放映结束，按Esc退出.