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安庆师范学院数学与计算科学《实变函数》电子教案 第四章 可测函数 （总授课时数 14 学时） 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数—— Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构 . §1 可测函数及其性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 教学要点 可测函数有若干等价的定义 . 它是一类范围广泛的函数 , 并且有很好 的运算封闭性 . 可测函数可以用简单函数逼近 , 这是可测函数的构造性特征 . 本节难点 可测函数与简单函数的关系 . 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1 可测函数定义 定义： 设 f (x) 是可测集 E 上的实函数 ( 可取 ) ，若 a R, E[ f a ] 可测，则称 f (x ) 是 E 上的可测函数 . 2 可测函数的性质 性质 1 零集上的任何函数都是可测函数。 注： 称外测度为 0 的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质 2 简单函数是可测函数 n 若 E E ( E 可测且两两不交） ， f (x) 在每个 E 上取常值 c ，则称 f (x) 是 E 上的 i i i i i 1 简单函数； n 1 x Ei f (x ) ci Ei (x) 其中 Ei (x ) i 1 0 x E E i 注： Dirichlet 函数是简单函数 性质 3 可测集 E 上的连续函数 f (x) 必为可测函数 设 f (x ) 为 E 上有限实函数，称 f (x ) 在 x0 E 处连续 若 0, 0, 使得 f (O( x0 , ) E) O( f ( x 0 ), ) 对比：设 f (x) 为 a, b 上有限实函数， f ( x)在x0 (a, b)处连续 若 lim f (x) f (x ) 0 x x0 第 1 页（共 15 页） 安庆师范学院数学与计算科学《实变函数》电子教案 即 0, 0,当 | x x | 时，有 | f (x) f (x ) | 0 0 即 0, 0,当x O(x 0 , )时，有 f (x) O( f ( x0 ), )