概率论例题讲解.ppt

例题讲解;;;;;;;;;0.5;3-3 设一个口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个相同的球，从口袋中任取一个球，取得的球上标有的数字X是一随机变量，求X的分布函数。;;;;;u;u;u;八、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为 则下列各式正确的是 。 X=Y (2) P(X=Y)=1/2 (3) P(X=Y)=0 (4) P(X=Y)=1 解：虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y； P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.5?0.5+0.5?0.5=0.5 选答案(2);九、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y), 则X, Y必有 . 解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 由于D(X+Y)=D(X-Y) 得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y) cov(X,Y)=0 X,Y不相关。;十、对随机变量X和Y，已知E(X)=-2, E(Y)=2, D(X)=1, D(Y)=4, X与Y的相关系数r = -0.5 由契比 雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满 足不等式 P{|X+Y|≥6}≤c ) 解：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2r =1+4+2?(-0.5)?1?2=3 P{|(X+Y)-E(X+Y)|≥6}≤D(X+Y)/62 P{|X+Y|≥6}≤3/62=1/12 c=1/12;十一、设?n~B(n, p). (0p1, n=1,2,…)则对任意实数x，有 解：;十二、(习题5-2) 设?服从几何分布 P(?=k) = pqk ( k=0,1,2,… 0p1, q=1-p ) 求E?, D? 解：;;十三、(习题5-5) 证明：当t=E?时，g(t)=E(?-t)2最小，这个最小值是D? 解：g(t)=E(?-t)2 = E(?2-2?t+t2) = E?2-2tE?+E(t2) = E?2-2tE?+t2 = E?2-(E?)2+(E?)2-2tE?+t2 = D?+(t-E?)2≥D? 当t=E?时， g(t)=D?是最小值. ;十四 证明：在一次试验中事件A发生的次数?的方差 D?≤1/4 解： ?~B(1, p) ;十五、(5-18) 设A和B是一次随机试验的两个事件， 有P(A)0, P(B)0, 定义随机变量???为 试证：若???的相关系数 r=0，则???必相互独立。;;十六、设???是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为 又知随机变量 ，求w的分布律及其分布函数。 解：; w的分布律为： w的分布函数： ;十七 设随机变量?和?独立同分布, 且 P(? =k)=1/3, k=1,2,3 又设X=max(?,?), Y=min(?,?). 试(1) 写出(X,Y)的 联合分布律； (2) 求E(X) 解: (1) 由于?=1,2,3, ?=1,2,3 所以，X=1,2,3; Y=1,2,3 当ij时，P(X=i, Y=j)=P(max(?,?)=i, min(?,?)=j) =P(?=i, ?=j)+P(?=j, ?=i) =P(?=i)P(?=j)+P(?=j)P(?=i) =(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9 当i=j时， P(X=i, Y=j)=P(max(?,?)=i, min(?,?)=j) =P(?=i, ?=i)= P(?=i)P(?=i) =(1/3)(1/3)=1/9 当ij时， P(X=i, Y=j)=P(max(?,?)=i, min(?,?)=j)=0;(X,Y)的联合概率分布律： (2) ;十八、设某班车起点站上人数X服从参数为?的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概