关于三角形外角定理几点应用.doc

关于三角形外角定理的几点应用 关于三角形外角定理的几点应用 PAGE / NUMPAGES 关于三角形外角定理的几点应用 关于“三角形外角定理”的几点应用 泰州市民兴实验中学 程兵 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”这一性质在数学问题 中有着广泛的应用， 恰当地运用好外角， 往往可以简化解题过程， 起到事半功倍的效果。下面笔者结合题目予以分类剖析。 一、求角的度数 A 如图 1，已知∠ A=8 0°，∠ B=10°，∠ C=20°, 求∠ BOC 的度数 . 分析：要求∠ BOC 的度数，可设法让∠ BOC 成为某个三角形 的外角，利用三角形的内角和与外角和来解 . O 解法 1：如图 1-1，延长 BO 交 AC 于点 D. B A C ∵∠ BOC、∠ CDO 分别是⊿ CDO、⊿ ABD 的外角， D ∴∠ BOC=∠CDO + ∠C， ∠CDO =∠A+∠B . ∴∠ BOC= ∠A+ ∠B +∠C . O ∴∠ BOC=80°+ 10° + 20°=110° . 解法 2：如图 1-2，连接 AO 并延长到点 D . B 图 1-1 A C ∵∠ 3、∠ 4 分别是⊿ ABO 、⊿ ACO 的外角， 1 2 ∴∠ 3=∠ B+∠ 1，∠ 4=∠ 2+∠C， O ∴∠ 3+∠4=∠B +(∠1+∠2)+∠C， 即∠ BOC=∠ BAC+ ∠B+∠C 34 ∴∠ BOC=80°+ 10° + 20°=110° . B 图 1-2 C 方法归纳：通过添加辅助线将问题转化为三角形外角来解决是常用方法， 本题两种辅助线作法的共同点是构造三角形，从而建立∠ A 、∠ B 、∠ C 与∠ BOC 之间的等量关系。 A ①如图 2 是一个五角星 ,求∠ A+∠B +∠C+∠D+∠E 的度数 . 解：∵∠ 1=∠C+∠E，∠ 2=∠B+∠D， ∴∠ A+ ∠B +∠C+∠D+ ∠E =∠A+ （∠ C +∠E）+（∠B+∠D）  1 2 B E =∠A+ ∠1+∠2 =180°.  C  图 2 D A ②如图 2-1 ，将点 B 向右移动到∠ CAD 解：延长 EF 交 AC 于点 G， 则∠ 1=∠ C+∠ E，∠ 2=∠ B+∠ D， ∴∠ A+ ∠B +∠C+∠D+ ∠E =∠A+ （∠ C +∠E）+（∠B+∠D）  内部时，上面的结论还成立吗？ G 1 2 F B E 图2-1 D C =∠A+ ∠1+∠2 =180°. A ③如图 2-2 ，将点 B、 E 移动到∠ CAD 内部时，上面的结论还成立吗？ 解：连接 CD . ∵∠ BOC 是⊿ BOE、⊿ COE 的外角， ∴∠ BOC=∠1+∠2=∠B+∠C， ∴∠ A+ ∠B +∠ACO+ ∠ADO+ ∠E =∠A+( ∠B +∠E) +∠ACO+∠ADO =∠ A+∠ 1+∠2+∠ACO+ ∠ADO =∠ A+∠ ACD+ ∠ADC =180° .  B E O 1 2 C 图 2-2  D 方法归纳：解决此类问题要充分运用外角和， 将多个角和的问题巧妙转化成一个三角形或一个多边形的内角和问题。 二、证角的关系 3. 如图，点 C 为圆周上一点，点 P 为圆内一点，且 C、P D 在 AB 同侧，试说明 :∠ APB ∠ ACB C 分析：本题∠ APB 、∠ ACB 无直接联系，但可以添加辅 P 助线使得∠ APB 为外角来解决问题。 解：延长 BP 交⊙ O 于点 D，连接 AD ∵弧 AB， O ∴∠ ACB= ∠ ADB ， A ∵∠ APB 是⊿ ABC 外角， ∴∠ APB=∠ ADB+ ∠DAP ， ∴∠ APB=∠ ACB+ ∠DAP ， ∴∠ APB ∠ACB . 若点 P 为圆外一点，其他条件不变，我们可以用同样的方法说明∠ APB ∠ACB .  B 4. 如图，已知 AB∥CD, 试说明 : ∠AEC= ∠A+ ∠C. 分析：本题添加辅助线的方法较多，但是延长解：延长 CE交AB于F ∵∠ AEC 是⊿ AEF 的外角， ∴∠ AEC=∠ A+∠ AFE . AB∥CD， ∴∠ AFE=∠C， ∴∠ AEC=∠A+∠C .  CE 交 AB 于 F 这种方法较简单。 A F B E C D 如图，把⊿ ABC 沿着 DE 折叠，使顶点求证：∠ 1+∠2=2 ∠C。 证明：连接 C C ′， ∵∠ 1 是△ C′CE 的外角， ∴∠ 1=∠EC C ′+∠E C′C，同理∠ 2= ∠DC C ′+∠D C ′C， ∴∠ 1+∠2  C 落在四边形 ABED 的内部， B E 1 C C 2 D A =∠EC C ′+∠E C ′C+∠DC C ′+∠D C′C =∠DCE+ ∠D C′E