电磁场电磁波em03静电场边值问题.pptx

1 电磁场与电磁波 第三章 静电场边值问题 武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 2 本章要点 电位微分方程 镜像法 分离变量法 3 电位微分方程 电位微分方程的提出： 泊松方程 4 电位微分方程 拉普拉斯方程 在电荷密度为0的无源空间，有： 静电场的边值问题，可以归结为在给定边值条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。 5 电位微分方程 边值问题的分类： 第一类边值问题（狄里赫利问题）： 给定未知函数在边界上的函数值。 例如：静电场中已知各导体表面的电位, 求解空间的电位问题。 第二类边值问题（诺伊曼问题）： 给定未知函数在边界上的法向导数值。 如静电场中已知导体表面的面电荷密度分布，求解空间的电位问题。 6 电位微分方程 第三类边值问题（混合问题）： 在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分边界上的法向导数值。 7 电位微分方程 例3.1 两块无限大的接地导体平面分别置于x=0和x=a处，其间在x=x0处有一面密度为0(C/m2)的无限大均匀电荷分布，求两导体板之间的电位。 8 电位微分方程 解： 除x=x0处，空间其它地方都没有电荷，电位满足一维拉普拉斯方程，根据导体平面及x=x0处的边界条件，可以求出电位分布。 电位仅是坐标x的函数： 9 电位微分方程 1和2满足的边界条件为： 思考：上式如何得来？ 10 电位微分方程 得到C1、C2、C3和C4，代入电位表达式得： 11 镜像法 镜像法的实质： 用镜像电荷（或源）代替边界，使边界上的未知函数（电位/电场/磁位/磁场）值，或其法向导数值保持不变，即边界条件不变；电力线或磁力线在求解区域中将保持不变，镜像源一定处在求解区域之外。 12 镜像法 第一类 点电荷与无限大的导体平面 例3.2 置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q。 13 镜像法 分析： =0 可用叠加法求解 14 镜像法 选无穷远点为电位参考点，利用叠加法求出导体上方无源区任一点的电位： 15 镜像法 16 镜像法 由Dn=ρS可得导体表面（z=0）的感应面电荷密度： 令ρ2=x2+y2，则导体表面总的感应电荷： 17 镜像法 分析： 当点电荷位于无限大的导体平面时，由于静电感应，导体表面将产生等量的异性的感应电荷，使用镜像法时，可以用一个异性的镜像电荷代替导体表面的感应电荷。 电场线处处垂直于导体的平面，零电位面与导体表面重合。 18 例3.3 设有两块接地半无限大导体平板相交成α角，角α满足n=180°/α，n为正整数，即n=1、2、3…，交角内置一点电荷(或一线电荷)。 镜像法 解： 轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像, 直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。但是只有当n为整数时，最后的镜像才能和原电荷重合，镜像电荷的总数应是N=2n-1个。 19 镜像法 因为导体板无限大，所以导体板电位为0，构造图示的镜像电荷，保证边界上的电位永远为0。 20 镜像法 由叠加法求出空间一点的电位为： 21 镜像法 思考：如图导体板的镜像电荷如何构建？ 22 镜像法 第二类 点电荷与导体球 例 3.4 一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处。 23 镜像法 解： 试用一个镜像电荷q’等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q’应置于球心与电荷q的连线上。 24 镜像法 球外任一点的电位是电荷q与镜像电荷q’产生电位的叠加： 因为球面接地，所以球面上一点有： r10、r20分别是从q、q’到球面上点P0的距离。。 25 镜像法 取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到确定未知量q’、b的两个方程： 26 镜像法 其它情况： 如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总感应电荷为零。使用两个等效电荷：一个是q’，其位置和大小由前面的例题确定；另一个是q”，q”=-q’，q”位于球心。 如果导体球不接地，且带电荷Q，则q’位置和大小同上，q”的位置也在原点，但q”=Q-q’。 于是空间总电位可由q与q’叠加求出。 27 第三类 线电荷与带电的导体圆柱 例3.5 设半径为a的无限长导体圆柱外，有一根与其平行的无限长细线电荷，其线电荷密度为ρl，与圆柱轴线距离为d1，横截面如图。 镜像法 28 镜像法 求解方法和第二类镜像法类似： 第一步 构造镜像电荷； 第二步 求出空间中电位的表达式 第三步 列出满足导体表面电位为0的边界条件的方程（组），求解出设定的未知量。 第四步 将求出的未知量代入电位的表达式，得到可用的电位表达式。 29 镜像法 第四类 点电荷与无限大的介质平面 例3.6 两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于z0及z0的空