高中数学-定积分定义PPT课件.ppt

上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 曲边梯形 设函数y?f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x?a、x?b、y?0及曲线y?f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 1.曲边梯形的面积 观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？ 求曲边梯形的面积 (1)分割: a?x0 x1 x2 ??? xn?1 xn ?b, Dxi=xi-xi?1; 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi?1xixi); (2)近似代替: (4)取极限: 设??max{Dx1, Dx2,???, Dxn}, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ; 2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v?v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)?0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1?t0t1t2 ??? tn?1tn?T2, Dti?ti?ti?1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti?1, ti]内所经过的路程近似为 DSi?v(?i)Dti ( ti?1? iti ); 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记??max{Dt1, Dt2,???, Dtn}, 物体所经过的路程为 二、定积分定义 定积分的定义 ??max{Dx1, Dx2,???,Dxn}; 记Dxi=xi-xi?1 (i?1, 2,???, n), a?x0x1x2 ??? xn?1xn?b; 在区间[a, b]内插入分点: 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 如果当??0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上 在小区间[xi?1, xi]上任取一点xi (i?1, 2,???, n), 作和 即 的定积分? 记为 定积分各部分的名称 ? ————积分符号, f(x) ———被积函数, f(x)dx ——被积表达式, x ————积分变量, a ————积分下限, b ————积分上限, [a, b]———积分区间， 定积分的定义 二、定积分定义 ———积分和? 定积分的定义 二、定积分定义 说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即 函数的可积性 如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区间[a, b]上可积. 定理1 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. 定积分的定义 二、定积分定义 定积分的几何意义 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值. 这是因为 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线y?f(x)及直线x?a、x?b之间的各部分面积的代数和. 定积分的几何意义 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值. 利用定义计算定积分 解: 例1 利用定积分定义计算 . 取分点为 (i=1, 2, ? ? ?, n-1), 则