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随机变量的数学期望与方差 ———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期： 第9讲 随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 教学过程： 第三章 随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。 1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进展考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量，如何定义X取值的平均值呢？ 假设统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 这个数能作为X取值的平均值吗？ 可以想象，假设另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全一样，这另外100天每天的平均废品数也不一定是。 对于一个随机变量X，假设它全部可能取的值是， 相应的概率为 ，那么对X作一系列观察(试验)所得X的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现的频率会接近于，于是试验值的平均值应接近 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X是离散随机变量，它的概率函数是 如果 收敛，定义X的数学期望为 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能翻开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。假设每把钥匙试开一次后除去，求翻开门时试开次数的数学期望。 解 设试开次数为X，那么 ， 于是 2. 连续随机变量的数学期望 为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数为，把区间分成假设干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在任意小区间内的概率，那么有 = 由于区间的长度非常小，随机变量X在内的全部取值都可近似为，而取值的概率可近似为。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。 定义2 设X是连续随机变量，其密度函数为。如果 收敛，定义连续随机变量X的数学期望为 也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。 由连续随机变量数学期望的定义不难计算： 假设，即X服从上的均匀分布,那么 假设X服从参数为 假设X服从 3.随机变量函数的数学期望 设随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比方说的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。 一种方法是，因为也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由的 X的分布求出来。一旦我们知道了的分布，就可以按照数学期望的定义把计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数的分布，一般是比拟复杂的。那么是否可以不先求的分布，而只根据X的分布求得呢？答案是肯定的，其根本公式如下： 设X是一个随机变量，，那么 当X是离散时, X的概率函数为； 当X是连续时，X的密度函数为。 该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。 4.数学期望的性质 〔1〕设C是常数，那么E(C)=C 。 〔2〕假设k是常数，那么E(kX)=kE(X)。 〔3〕。 推广到n个随机变量有。 〔4〕设X、Y相互独立，那么有 E(XY)=E(X)E(Y)。 推广到n个随机变量有 5.数学期望性质的应用 例2 求二项分布的数学期望。 解 假设 ，那么X表示n重贝努里试验中的“成功〞 次数，现在我们来求X的数学期望。 假设设 i=1,2，…，n 那么，因为 ， 所以，那么 可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 。 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。 例3 设随机变量X服从柯西分布,概率密度为 求数学期望。 解 依数学期望的计