二次函数经典解答题及答案 (30).pdfVIP

二次函数经典解答题 1．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x ＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC． （1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式； （2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC 的距离最大时，求点P 的 坐标； （3）抛物线上是否存在一点Q （点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）y＝﹣ x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，故点B、C的坐标分别 为（6，0）、（0，3），即可求解； （2）PH＝PGcosα＝ （﹣x + x+3+ x ﹣3），即可求解；2 （3）①当点Q在x轴上方时，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q （2，3）； ②当点Q在x轴下方时，（Ⅰ）当∠BAQ＝∠CAB时， ，△QAB∽△BAC，由勾 股定理得：AC＝5，AQ＝ ＝20，过点Q作QH⊥x轴于点H，由△QHA∽△ACO 得： ，OC＝3，QH＝12，则AH＝16，OH＝16﹣4＝12，Q （12，﹣12），根据 点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q （﹣10，﹣12）；（Ⅱ）当∠BAQ＝ ∠CBA时，直线AQ 的表达式为：y＝﹣ x ﹣2…②，联立①②并解得：x＝10或﹣4 （舍 去﹣4），故点Q （10，﹣7）， ＝ ，而 ＝ ≠ ，即Q，A，B 为顶点的 三角形与△ABC 不相似，故舍去，Q的对称点（﹣8，﹣7）同样也舍去． 【解答】解：（1）y＝﹣ x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6， 故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3）， 抛物线的对称轴为x＝1，则点A （﹣4，0）， 第 1 页 共 3 页 则抛物线的表达式为：y＝a （x ﹣6）（x+4）＝a （x ﹣2x ﹣24），2 即﹣24a＝3，解得：a＝﹣ ， 故抛物线的表达式为：y＝﹣ x + x+3…①；2 （2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H， 则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CBA＝ ＝ ＝tanα，则cosα＝ ， 设点P （x，﹣ x + x+3），则点G （x，﹣ x+3），2 2 2 则PH＝PGcosα＝ （﹣x + x+3+ x ﹣3）＝﹣ x + x， ∵ ＜0，故PH有最大值，此时x＝3， 则点P （3， ）； （3）①当点Q在x轴上方时， 则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称， 则点Q （2，3）； ②当点Q在x轴下方时， （Ⅰ）当∠BAQ＝∠CAB时， ，△QAB∽△BAC， 由勾股定理得：AC＝5，AQ＝ ＝20， 过点Q作QH⊥x轴于点H，由△QHA∽△ACO得： ， ∵OC＝3，∴QH＝12，则AH＝16，OH＝16﹣4＝12，∴Q （12，﹣12）； 第 2 页 共 3 页 根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q （﹣10，﹣12）； 故点Q的坐标为：（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）； （Ⅱ）当∠BAQ＝∠CBA时， 则直线AQ∥BC，直线BC表达式中的k为：﹣ ， 则直线AQ 的表达式为：y＝﹣ x ﹣2…②， 联立①②并解得：x＝10或﹣4 （舍去﹣4），故点Q （10，﹣7）， ＝ ，而 ＝ ≠ ，即Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 不相似， 故舍去，Q的对称点（﹣8，﹣7）同样也舍去， 即点Q的为：（﹣8，﹣7）、（10，﹣7）均不符合题意，都舍去； 综上，点Q的坐标为：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直