高中数学《函数的奇偶性》.ppt

1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2 f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x) -x x f(-x) f(x) x y o ( x,y) (-x,y) 1.偶函数的概念: 偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数. 2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x) 解: f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x) -x f(-x) x f(x) x y o (-x,-y) (x,y) 1.奇函数的概念: 奇函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫奇函数. ☆奇函数、偶函数定义的说明: (1).函数具有奇偶性的前提：定义域关于原点对称 。 [a ,b] [-b,-a] x o （2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 （3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。 练习1. 说出下列函数的奇偶性: 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 ①f(x)=x4 ________ ④ f(x)= x -1 __________ ② f(x)=x ________ 奇函数 ⑤f(x)=x -2 __________ 偶函数 ③ f(x)=x5 __________ ⑥f(x)=x -3 _______________ 说明：对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。 例1. 判断下列函数的奇偶性 (1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2 解: ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数 ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2 ∴f(x)为偶函数 定义域为R 解: 定义域为R 即 f(-x)= f(x) ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。 用定义判断函数奇偶性的步骤: 练习2. 判断下列函数的奇偶性 (2) f(x)= - x2 +1 ∴f(x)为奇函数 ∵f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1 ∴f(x)为偶函数 (1) f(x)=x- 1 x 解：定义域为﹛x|x≠0﹜ 解：定义域为R ∵f(-x)=(-x) - 1 -x = -x+ 1 x 即 f(-x)= - f(x) 即 f(-x)= f(x) (3). f(x)=5 (4) f(x)=0 解: (3) f(x)的定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数 解: (4)定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0 ∴f(x)为既奇又偶函数 y o x 5 o y x 说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3] 解: (5) ∵ f(-x)= -x+1 - f(x)= -x-1 ∴f(-x)≠f(x) 且f(-x)≠ –f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数 解: （6）∵定义域不关于原点 对 称 ∴f(x)为非奇非偶函数 y o x o