二用数学归纳法证明不等式.ppt

第三十一页，共33页。 第三十二页，共33页。 内容总结 新课导入。会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).。会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).。(1)当n=5时，5225，命题成立.。(2)假设当n=k时，命题成立，。ak+1=1.。有归纳假设可得到：a1+a2+。(1)当n=1时，命题成立.。所以，当n=k+1时，命题成立.。习题4.2（第53页） 第三十三页，共33页。 新课导入 回顾旧知 数学归纳法的步骤： (1)证明当n=n0时命题成立； (2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 第一页，共33页。 4.1用数学归纳法证明不等式 第二页，共33页。 教学目标 知识与能力 会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式). 第三页，共33页。 过程与方法 通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式). 第四页，共33页。 情感态度与价值观 培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度. 第五页，共33页。 教学重难点 重点 难点 会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式). 灵活运用数学归纳法. 第六页，共33页。 例1 观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论. {an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,… 第七页，共33页。 分析 由数列的前几项猜想，从第5项起，anbn即n22n(n N+,n≥5)，用数学归纳法证明上述猜想时，第(1)步应该证明n=5的情形. 第八页，共33页。 证 明 (1)当n=5时，5225，命题成立. (2)假设n=k(k≥5)时，命题成立， 即k22k. 当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1k2+3k2k22k+1 由(1)(2)知，n22n(n N+,n≥5) 所以(k+1)22k+1,即当n=k+1时命题成立. 第九页，共33页。 例2 证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n N+) 第十页，共33页。 分析 这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式. 第十一页，共33页。 证 明 (1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│ 第十二页，共33页。 由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立. 当n=k+1时， │sin(k+1)θ│ =│sinkθcosθ+coskθsinθ│ ≤│sinkθcosθ│+ │coskθsinθ│ = │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│ =(k+1) │sinθ│ 第十三页，共33页。 例3 证明贝努利不等式： 如果x是实数，且x-1,x 0 ,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n1+nx 第十四页，共33页。 分析 贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数，我们用数学归纳法只能对n进行归纳. 第十五页，共33页。 证 明 (1)当n=2时，由x ≠ 0得(1+x)21+2x,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立， 即有(1+x)k1+kx. 当n=k+1时，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx） 1+(k+1)x 第十六页，共33页。 所以当n=k+1时不等式成立. 由(1)(2)可知，贝努利不等式成立. 第十七页，共33页。 例4 证明： 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an 的乘积a1,a2,…,an， 那么它们的和a1+a2…+an=1. 第十八页，共33页。 在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用. 第十九页，共33页。 事实上，贝努利不等式的一般形式是： 当a是实数，并且满足a1或者a0时，有(1+x)a ≥1+ax(x-1); 当a是实数，并且满足a1或者0a1时，有(1+x)a ≤1+ax(x-1). 第二十页，共33页。 分析 这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时，应注意利用n个正数的乘积为1的条件，并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数. 第二十一页，共