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因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法及练习题
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因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)平方差公式:(a+b)(a-b) = a2-b2
(2) 完全平方公式:(a±b)2 = a2±2ab+b2
(3) 立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
(4) 立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
(5)完全立方公式:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
下面再补充两个常用的公式:
(6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(7)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
三、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式:进行分解。
特点:(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式:
练习5、分解因式(1) (2) (3)
练习6、分解因式(1) (2) (3)
(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:(1)
(2)
(3)
分解结果:=
例7、分解因式:
练习7、分解因式:(1) (2)
(3) (4)
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
分析:将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解:=
=
练习8、分解因式(1)(2)(3)
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解:原式= 解:原式=
练习9、分解因式:(1) (2)
综合练习10、(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
四、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=
= 每组之间还有公因式!
=
例2、分解因式:
解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式= 原式=
= =
= =
练习:分解因式1、 2、
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 例4、分解因式:
解:原式= 解:原式=
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