微分中值定理及其应用.pdf

第五章 微分中值定理及其应用 §1 微分中值定理 引言 在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线 上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样 计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。 另一方面，我们注意到： （1 ）函数与其导数是两个不同的的函数； （2 ）导数只是反映函数在一点的局 部特征； （3 ）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间 建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。 本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。 一 费马定理 定义 1 （极值） 若函数 f 在区间 X 上有定义， x X 。若存在 x 的邻域 O (x , ) ，使得对于任意的 0 0 0 x O( x , ) ，有 f (x ) f (x ) ，则称 f 在点 x 取得极大值， 称点 x 为极大值点。 若存在 x 的邻域 O (x , ) ， 0 0 0 0 0 0 使得对于任意的 x U (x ) ，有 f (x ) f (x) ，则称 f 在点 x 取得极小值，称点 x 为极小值点。 0 0 0 0 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为 极值点 。 极值存在的必要条件――费马定理 费马定理 若函数在点 x 的邻域内有定义，且在点 x 可导。若 x 为 f 的极值点，则比有 f (x ) 0 。 0 0 0 0 几何意义：可导极值点的切线平行于 x 轴。 由费马定理可知 , 可导极值点是稳定点，反之不然。如 f (x) x 3 ,点 x=0 是稳定点，但不是极值点。 二 中值定理 Lagrange 定理 若函数 f 满足以下条件： （1）f 在 a, b 上连续； （2 ）f 在 a, b ) 内可导。则在 a , b 内 f (b) f (a) 至少存在一点 ，使得 f ( ) 。 b a 特别地，当 f (a) f (b) 时，有如下 Rolle 定理： Rolle 定理 若 f 满足如下条件： （1）f x 在 a , b 上连续；（2 ）g x 在 a, b ) 内可导；（3 ）f (a) f (b) ， 则存在 a, b ，使得 f ( ) 0 。 如把曲线弧 AB 用参数方程函数，则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数 f x ， g x 满足如下条件： （1）（1） f x 在 a, b 上连续； （2 ） g x 在 a, b 5-1 内可导； （3 ） g x 0 。在存在 （1） f x 在 a , b 上连续； （2 ） g x 在 a, b ) 内可导。使得 f ( ) f (b) f