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因式分解复习专题 因式分解复习专题 PAGE PAGEPAGE 4 因式分解复习专题 第一部分、因式分解 一、知识梳理 1、因式分解的概念： 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解. 2、提取公因式法 注： = 1 \* roman i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. = 2 \* roman ii 公因式的构成：①系数： ②字母： ③指数： 3、运用公式法 ⅰ）平方差公式： 注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清、分别表示什么. ⅱ）完全平方公式： 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清、分别表示的量. 补充：常见的两个二项式幂的变号规律： ①； ②．（为正整数） 4、十字相乘法 借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.（1）对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足的，则有（2）对于二次项系数不为1的二次三项式该怎么办呢？ 5、分组分解法 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如： =， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法. 原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式. 6、求根公式法：如果有两个根，那么 二、典型例题及针对练习 考点1 因式分解的概念 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？ ⑴ ； ⑵； ⑶ ； ⑷. 注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.. 考点2 提取公因式法 例2 ⑴； ⑵ 解： 注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列. [补例练习]1、⑴； ⑵ 考点3、运用公式法 例3 把下列式子分解因式： ⑴； ⑵. 解： 注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数. 例4把下列式子分解因式： ⑴； ⑵. 解： 注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式. [补例练习]2、⑴； ⑵； ⑶； ⑷. 注：整体代换思想：比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止. 考点4、十字相乘法 例5 ⑴； ⑵. [补例练习]3、⑴ ⑵ 考点5、分组分解法 例6分解因式： （1）； （2） （3） 分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。 综合探究创新 例7 若是完全平方式，求的值. 说明 根据完全平方公式特点求待定系数，熟练公式中的“、”便可自如求解. 例8 已知，求的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值. 例9 已知，，求的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于与的式子，再整体代入求值. 三、巩固练习 课外练 填空题 1. 分解因式： . 2. 分解因式： . 3. 当时，的值是 . 4. . 5. 分解因式： . 6. 分解因式：