椭圆的简单几何性质系列.pptx

椭圆的简单几何性质系列yyMFM21ooxxFF12FM第1页/共69页椭圆的定义图形标准方程焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的判断abcF1(0,-c)，F2(0,c)F1(-c,0)，F2(c,0) 椭圆分母看大小焦点随着大的跑yB2abA2A1 oF1cF2B1第2页/共69页椭圆 简单的几何性质一.范围1. 观察：x,y的范围？ -a≤x≤a, -b≤y≤b 2. 思考：如何用代数方法解释x,y的范围？范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中（如图）yB1(0,b)A2(a,0)A1 oxB2(0,-b)第3页/共69页二、椭圆的顶点0, ±b令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ ）， 令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ）。±a, 0*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。焦点总在长轴上!P1（-x，y）YP（x，y）XP3（-x，-y）P2（-x，-y）O三.椭圆的对称性第4页/共69页 所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称； 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称； 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于( )对称；Y X 原点 yyxx-52-5233-4-444-3-355-2-2-1-11144332211-1-1-2-2-3-3-4-4第5页/共69页练习：根据前面所学有关知识画出下列图形（2）（1）B2 B2 A2 A2 A1 A1 B1 B1 yxO第6页/共69页四、椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：因为 a c 0，所以0e 1[2]离心率对椭圆形状的file:///D:\椭圆离心率1.exe影响：1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）a2=b2+c2 第7页/共69页知识归纳标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 a、b、c的关系-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. (ab)a2=b2+c2第8页/共69页标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 a、b、c的关系-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(0 , c)、(0, -c)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)长半轴长为a,短半轴长为b. (ab)a2=b2+c2 解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：2、确定焦点的位置和长轴的位置.四、例题讲解：第9页/共69页例题1: 求椭圆 9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程椭圆的长轴长是:2a=6椭圆的短轴长是:2b=4焦点坐标是:离心率:四个顶点坐标是:练习:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。第10页/共69页解：把已知方程化成标准方程椭圆的长轴长是:2a=10椭圆的短轴长是:2b=8焦点坐标是:离心率:四个顶点坐标是:第11页/共69页例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；解： ⑴方法一：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以椭圆的标准方程为 方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为 （2）离心率为 ，经过点（2,0）解：（1）当 为长轴端点时， ，