根轨迹分析法.pptx

根轨迹分析法第1页/共96页l?研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性 之间的定性、定量关系（分析问题）；l?根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平 面的位置（设计问题） ；l?研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计 调节器（设计问题）。第2页/共96页伊凡思(W.R. Evans)创立根轨迹法（1948）－几何图解求解特征根l?系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。l?利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控 制系统。l?常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。l?可以推广到其它参数的变化－广义根轨迹。l?可用于单变量系统和多变量系统。第3页/共96页本章主要内容 以K为变量的常规根轨迹的绘制方法 以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法 根轨迹分析方法的应用 －利用根轨迹分析和设计控制系统第4页/共96页 根轨迹的概念定义：根轨迹—系统中某一参数在全部范围内变化时， 系统闭环特征根随之变化的轨迹。第5页/共96页K－有2个开环极点没有开环零点。1 根轨迹举例例4-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。开环传递函数： 闭环传递函数： 分析： 闭环特征方程求出2个闭环特征根：（4-1-1） 闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。第6页/共96页Im0ReK取不同值： （等于两个开环极点） (两根重合于－0.5处) （即0≤K≤1/4，两根为实根） ××●●﹣1 (两根为共轭复数根，其实部为－0.5)第7页/共96页K－Im××●●0Re﹣1﹣0.5总结： 有两个闭环极点，有2条根轨迹。这是个？阶系统，2 根轨迹是从开环极点出发点。 根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。 通过选择增益K，可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。 如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。第8页/共96页Im××●0﹣1﹣0.5Re 对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数ζ=0.5，确定系统闭环特征根。例4-2解：根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。阻尼角θ计算如下：第9页/共96页（4-1-1）Im××●0﹣1﹣0.5ReK值可以计算出来。 即K=1。 与（4-1-1）式比较得： 获得系统的根轨迹有两个方法： 解析法：对闭环特征方程解 析求解，逐点描绘。 －精确，工作量大 图解法：利用Evans总结的 规律画出根轨迹。 －近似、简单，尤其适合高阶系统第10页/共96页G(s)H(s)－4.2 根轨迹绘制的基本规则1、根轨迹的基本关系式×典型的反馈控制系统如图: 其开环传递函数：（4-2-1）其中：K:开环增益 — 开环零点 — 开环极点第11页/共96页G(s)-1H(s)－φ闭环传递函数：闭环特征方程为：G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：它们满足：第12页/共96页绘制根轨迹必须满足的基本条件： （相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差） 相角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）幅值条件第13页/共96页相角条件幅值条件注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的s 值都是系统的特征根，把它们在s平面上画出，就构成了根轨迹。 2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。画法：利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连成根轨迹。确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值。第14页/共96页例4-3 某系统开环传递函数 ●s×○一个开环零点z1，分析：×2个开环极点p1和p2。在s平面上，○表示开环零点，×表示开环极点。则它必须满足：设s是系统的一个闭环特征根，相角条件：可以通过幅值条件，求出此s值下的K值:第15页/共96页02、绘制根轨迹的基本规则例4-4 某单位反馈系统要求画出根轨迹。分析：1个开环零点，3个开环极点，●×××0-5-2-1第16页/共96页规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。 闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次 = 开环传递函数的阶次= 开环极点数例中，闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。第17页/共96页规则二、 根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。 根轨迹是K从0→∞时的根变化轨迹，因此必须 起于K=0处，止于K=∞处。观察幅值条件：如果n m, m条根轨迹趋向开环的m 个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处。 对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。第18页/共96页规则三、 根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。证明：（1）连续性 从代数