概率论期望方差中心极限.pptx

1;4.1 随机变量的数学期望; 由此可以看出, 随机变量的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相应概率乘积的总和, 也是以相应的概率为权重的加权平均.;解 设X 为获奖的数值, 则X 的分布律为;(1)分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2)分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济.;解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望. 为简单计, 不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n / k 组.;若;例4 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .;例5 X ~ P ( ? ), 求 E( X ) . ;设连续 r.v. X 的 d.f. 为f(x);例7 X~U(a, b), 求E(X).;例9 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) .;常见 r.v. 的数学期望;;注 不是所有的 r.v.都有数学期望;EX1：设随机变量X的分布律为; 设离散 r.v. X 的概率分布为;1. E (C ) = C;证2 :设X~f(x),则;证4: 设(X,Y)~f(x,y)， X ,Y 独立;;应用1 据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为;由题设 ;应用2 市场上对某种产品每年需求量为 X 吨 ，X ~ U [ 2000,4000 ], 每出售一吨可赚3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润最大？ ;第24页/共74页;显然，;应用3 设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~ N (? ,1).已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：;解;即;几个重要的 r.v. 函数的数学期望;—— X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩;作业：;概率积分;方差; 随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.;又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：; 为此需引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.;再比较稳定程度;进一步比较平均偏离平均值的程度;若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机;若 X 为离散型 r.v.，分布律为;2. EX的取值相当于物理学上作一条直线，使所有的点均匀分布在直线的两边;;例1：设随机变量X的概率密度为;1. D (c) = 0;证1:;推论:若X1,…,Xn相互独立, a1,a2,…,an,b为常数.;证4:;1. 二项分布B(n, p)：;2. 泊松分布P(?)：;3. 均匀分布U(a, b)：;5. 正态分布N(?, ? 2);常见随机变量的方差;;则;例4 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函数.;标准化随机变量;例8 已知X的d.f.为;(2);作业：;5.2 中心极限定理;定理1 (同分布的中心极限定理——列维-林德伯格定理)设随机变量X1,X2, … Xn, …相互独立同分布且具有有限的数学期望 和方差 ,则随机变量;作为定理 1 的推广，我们有下面的定理; 定理 2表明,不论各个随机变量 具有怎样的分布,只要满足定理2 条件,它们的和 当 n 很大时,就近似地服从正态分布; 定理3 （德莫佛—拉普拉斯定理）设随机; 定理3 表明,当n充分大时, 二项分布B(n,p)可近似地用正态分布N(np, )来代替. ;解 设一袋味精净重Xi克,一箱味精的净重为X 克,则;例2 对敌阵地集中射击,每次集中射击的命中数的概率分布相同,数学期望为2,方差为1,求集中射击100 次有180颗到 220颗炮弹命中目标的概率. ;例3 某单位有240台电话机,每台电话机约有5%的时间要使用外线通话,设各电话机使用外线是相互独立的,问这个单位需要按装多少条外线才能以99%以上的概率保证每台电话机需要外线时不占线。;查表可得: 故;例4 设电路供电网中有10000盏灯,夜晚每一盏灯开着的概率都是，假定各灯开、关是相互独立的，计算同时开着的灯数在6800~7200之间的概率.;作业：;