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圆与相似-解直角三角形综合题精选有答案汇总
圆与相似-解直角三角形综合题精选有答案汇总
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圆与相似-解直角三角形综合题精选有答案汇总
解直1. (2012江苏镇江6分)如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE。 (1)求证:FC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,,求弦AC的长。
【答案】解:(1)连接OC,
∵FC=FE,∴∠FCE=∠FEC(等边对等角)。
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA(等边对等角)。
又∵∠FEC=∠AED(对项角相等),
∴∠FCE=∠AED(等量代换)。
又∵DF⊥AB,∴∠OAC+∠AED=900(直角三角形两锐角互余)。
∴∠OCA+∠FCE =900(等量代换),即∠OCF =900。
∴OC⊥CF(垂直定义)。
又∵OC是⊙O的半径,∴FC是⊙O的切线(切线的定义)。
(2)连接BC。
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=900(直径所对圆周角是直角)。
∵OB=OC。∴∠OBC=∠OCB(等边对等角)。
∵∠OCB=∠ACB-∠ACO=900-∠ACO=∠OCF-∠ACO
=∠FCE,
∴∠OBC=∠FCE。
又∵,∴。
又∵⊙O的半径为5,∴AB=10。
在Rt△ABC中,
∴。
【考点】等腰三角形的性质,对项角的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数定义,勾股定理。
【分析】(1)要证FC是⊙O的切线,只要FC垂直于过C点的半径,所以作辅助线OC。由已知条件,根据等腰三角形的等边对等角性质,直角三角形两锐角互余的关系,经过等量代换即可得到。
(2)构造直角三角形ABC,由等量代换得到∠OBC=∠FCE,从而得到,应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。
2 (2012四川巴中10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45°。
(1)判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为6cm,AE=10cm,求∠
【答案】解:(1)连接BD,OD,
∵AB是直径,∴∠ADB=90°。
∵∠ABD=∠E=45°,∴∠DAB=45°,则AD=BD。
∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。
又∵DC∥AB,∴OD⊥DC, ∴CD与⊙O相切。
(2)过点O作OF⊥AE,连接OE,
则AF=AE=×10=5。
∵OA=OE,∴∠AOF=∠AOE。
∵∠ADE=∠AOE,∴∠ADE=∠AOF。
在Rt△AOF中,sin∠AOF=,
∴sin∠ADE= sin∠AOF =。
3(2012福建福州12分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,AD交⊙O于点E.
(1) 求证:AC平分∠DAB;
(2) 若∠B=60o,CD=2 eq \r(3),求AE的长.
【答案】解:(1) 证明:如图,连接OC,
∵ CD为⊙O的切线,∴ OC⊥CD。∴ ∠OCD=90°。
∵ AD⊥CD,∴ ∠ADC=90°。∴ ∠OCD+∠ADC=180°。
∴ AD∥OC。∴ ∠CAD=∠ACO。
∵ OA=OC,∴ ∠ACO=∠CAO。
∴ ∠CAD=∠CAO,即AC平分∠DAB。
(2) ∵ AB为⊙O的直径,∴ ∠ACB=90°.
又∵ ∠B=60°,∴∠CAD=∠CAB=30°。
在Rt△ACD中,CD=2 eq \r(3),∴ AC=2CD=4 eq \r(3)。
在Rt△ABC中,AC=4 eq \r(3),∴ AB= eq \f(AC,cos∠CAB)= eq \f(4\r(3),cos30°)=8。
连接OE,
∵ ∠EAO=2∠CAB=60°,OA=OE,∴ △AOE是等边三角形。
∴ AE=OA= eq \f(1,2)AB=4。
【考点】切线的性质,平行的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,等边三角形的判定和性质。
【分析】(1) 连接OC,由CD为⊙O的切线,根据切线的性质得到OC垂直于CD,由AD垂直于CD,可
得出OC平行于AD,根据两直线平行内错角相等可得出∠CAD=∠ACO,再由OA=OC,利用等边对等
角得到∠ACO=∠CAO,等量代换可得出∠CAD=∠CAO,即AC为角平分线。
(2)由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB
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