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空间角的求法 一、异面直线所成角的求法 平移法 常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点） ；补形平移法。 “补形法” 是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形 法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 （ 1）直接平移法 例 1 如图， PA 矩形 ABCD ，已知 PA=AB=8 ， BC=10 ，求 AD 与 PC 所成角的正切值。 （ 4 2 ） 5 （ 2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 例 2 设 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点， SA ＝ SB＝ SC，且 ASB ＝ BSC＝ CSA＝ ， 2 M 、N 分别是 AB 和 SC 的中点，求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值。 （ S 10 ） 5 N C B M A （ 3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。 例 3 在正方体 ABCD 10 A1B1C1 D1 中，E 是 CC1 的中点，求直线 AC 与 ED 1 所成角的余弦值。（ ） 5 二、线面角的三种求法 直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例 1 四面体 ABCS 中， SA ，SB， SC 两两垂直，∠ SBA=45° ，∠ SBC=60° ， M 为 AB 的中点，求： （ 1）BC 与平面 SAB 所成的角；（ 60°） （ 2）SC 与平面 ABC 所成的角。（ 7 ） 7 C H S B M A （“垂线”是相对的， SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线。作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的 垂线。） 利用公式  sin  h ：其中 是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长， l 是斜线段的长，其中求 l 出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂 线段的长。 4 例 2 长方体 ABCD-A 1B 1C1D1 中 AB=3 ，BC=2 ，A 1A= 4 ，求 AB 与面 AB 1C1D 所成的角的正弦值。（ ） 5 D C 2 A 3 B 4 H CD 1 C 1 A 1 B 1 利用公式 cos cos 1 cos 2 ：如图， 若 OA 为平面的一条斜线， O 为斜足， OB 为 OA 在面 内的射影， OC 为面 内的一条直线，其中 为 OA 与 OC 所成的角， 1为 OA 与 OB 所成的角，即 线面角， 2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos cos cos 2 ， 它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成 的一切角中最小的角（常称为最小角定理） 例 3 已知直线 OA ，OB，OC 两两所成的角为 60°，求直线 OA 与面 OBC 所成的角的余弦值。 （ 3 ） 3 A B α O D C 二、二面角的四种求法 定义法 ：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角 的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 S— AM — B 中半平面 ABM 上的一已知点（ B）向棱 AM 作垂线，得垂足（ F）；在另一半平面 ASM 内过该垂足（ F）作棱 AM 的垂线（如 GF），这两条垂线（ BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解 三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例 1 如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ，点 M 是侧棱 SC 的中 点， AD ， DC SD ， ABM =60°，求二面角 S AM B 的大小。（ 6 ） 3 三垂线法： 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）在证明 AD ⊥平面 PAB后，容易发现平面 PAB⊥平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD的垂线， 再作平面 ABCD的垂线，于是可形