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因式分解新题型含答案点评
因式分解新题型含答案点评
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因式分解新题型含答案点评
因式分解新题型
一.填空题(共4小题)
1.若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.
例如,因为5=22+12,所以5是一个“完美数”.
(1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数” ;
(2)已知M是一个“完美数”,且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k(x,y是两个任意整数,k是常数),则k的值为 .
2.当k=时,有k2+k﹣1=0,则k3= .
3.已知a2+a﹣1=0,则a3+2a2+2018= .
4.将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为 .
二.解答题(共36小题)
5.定义:任意两个数a,b,按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“如意数”.
(1)若a=,b=1,直接写出a,b的“如意数”c;
(2)如果a=m﹣4,b=﹣m,证明“如意数”c≤0.
6.分解因式:
(1)﹣3x2+6xy﹣3y2;
(2)16(a+b)2﹣25(a﹣b)2.
7.阅读下列文字与例题,并解答:
将一个多项式分组进行因式分解后,可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法.
例如:以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法.
a2+2ab+b2+ac+bc
原式=(a2+2ab+b2)+(ac+bc)
=(a+b)2+c(a+b)
=(a+b)(a+b+c)
(1)试用“分组分解法”因式分解:x2﹣y2+xz﹣yz
(2)已知四个实数a,b,c,d,满足a≠b,c≠d,并且a2+ac=12k,b2+bc=12k,c2+ac=24k,d2+ad=24k,同时成立.
①当k=1时,求a+c的值;
②当k≠0时,用含a的代数式分别表示b、c、d(直接写出答案即可).
8.(1)填空:a2+6a+ =(a+ )2;
(2)阅读,并解决问题:
分解因式(a+b)2+2(a+b)+1
解:设a+b=x,则原式=x2+2x+1=(x+1)2=(a+b+1)2
这样的解题方法叫做“换元法”,即当复杂的多项式中,某一部分重复出现时,我们用字母将其替换,从而简化这个多项式.换元法是一个重要的数学方法,不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解:
①(m+n)2﹣14(m+n)+49
②(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4
9.(1)化简:(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2;
(2)利用(1)题的结论,且a=2015x+2016,b=2015x+2017,c=2015x+2018,求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值.
10.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为神秘数”,如:4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是神秘数.
(1)52和200这两个数是神秘数吗为什么
(2)设两个连续偶数为2n和2n﹣2(其中n取正整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗为什么
(3)两个连续奇数(取正整数)的平方差是神秘数吗?为什么.
11.(1)已知2x﹣y=8,求代数式[x2+y2﹣(x﹣y)2+2y(x﹣y)]÷4y的值.
(2)阅读下列材料:常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解,如x2﹣2xy+y2﹣16,我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下:x2﹣2xy+y2﹣16=(x﹣y)2﹣16=(x﹣y+4)(x﹣y﹣4)这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题:
已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且2a2+b2+c2﹣2a(b+c)=0请判断△ABC的形状,并说明理由.
12.如果一个整数,将其末三位截去,这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除,则这个数能被19整除,否则不能被19整除,能被19整除的我们称之为“灵异数”.
如46379,由379﹣7×46=57,∵57能被19整除,∴46379能被19整除,是“灵异数”.
(1)请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”;
(2)有一个首位数字是1的五位正整数,它的个位数字不为0且是千位数字的2倍,十位和百位上的数字之和为8,若这个数恰好是“灵异数”,请求出这个数.
13.如图,有若干个长方形和正方形卡片,请你选取相应种类和数量的卡片,拼成一个新长方形,使它的面积等于2a2+3ab+b2
(1)则需要A类卡片 张,B类卡片 张,C类卡片 张;
(2)画出你所
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