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因式分解新题型含答案点评 因式分解新题型含答案点评 PAGE第PAGE48页（共NUMPAGES48页） 因式分解新题型含答案点评 因式分解新题型 一．填空题（共4小题） 1．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”． （1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”　 　； （2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为　 　． 2．当k=时，有k2+k﹣1=0，则k3=　 　． 3．已知a2+a﹣1=0，则a3+2a2+2018=　 　． 4．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为　 　． 二．解答题（共36小题） 5．定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”． （1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0． 6．分解因式： （1）﹣3x2+6xy﹣3y2； （2）16（a+b）2﹣25（a﹣b）2． 7．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． a2+2ab+b2+ac+bc 原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc） =（a+b）2+c（a+b） =（a+b）（a+b+c） （1）试用“分组分解法”因式分解：x2﹣y2+xz﹣yz （2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2+ac=12k，b2+bc=12k，c2+ac=24k，d2+ad=24k，同时成立． ①当k=1时，求a+c的值； ②当k≠0时，用含a的代数式分别表示b、c、d（直接写出答案即可）． 8．（1）填空：a2+6a+　 　=（a+　 　）2； （2）阅读，并解决问题： 分解因式（a+b）2+2（a+b）+1 解：设a+b=x，则原式=x2+2x+1=（x+1）2=（a+b+1）2 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： ①（m+n）2﹣14（m+n）+49 ②（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4 9．（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2； （2）利用（1）题的结论，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值． 10．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）52和200这两个数是神秘数吗为什么 （2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗为什么 （3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么． 11．（1）已知2x﹣y=8，求代数式[x2+y2﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y的值． （2）阅读下列材料：常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0请判断△ABC的形状，并说明理由． 12．如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”． 如46379，由379﹣7×46=57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”． （1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”； （2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数． 13．如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2 （1）则需要A类卡片　 　张，B类卡片　 　张，C类卡片　 　张； （2）画出你所