弹性力学第六章平面问题的直角坐标解.pdf

第六章 平面问题的直角坐标解 知识点 平面应变问题 平面应力问题 应力表示的变形协调方程 平面应力问题的近似性 应力函数 应力分量与应力函数 应力函数与双调和方程 应力函数与面力边界条件 平面问题应力解法 应力函数性质 逆解法 悬臂梁问题 简支梁问题 楔形体问题 矩形梁的级数解法 一、内容介绍 对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处 理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。这些问题的特 点是某些基本未知量被限制在平面内发生的， 使得数学上成为二维问题， 从而简 化了这些问题的求解困难。 本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。弹性力 学平面问题主要使用应力函数解法， 因此本章的工作从推导平面问题的基本方程 入手，引入应力函数并且通过例题求解， 熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和 步骤。 本章学习的困难是应力函数的确定。虽然课程讨论了应力函数的相关性质， 但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。 这就是说，应力函数的确定过程往往 是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。 二、重点 1、平面应变问题； 2、平面应力问题； 3、应力函数表达的平面 问题基本方程； 4 、应力函数的性质； 5、典型平面问题的求解。 §6.1 平面应变问题 学习思路 : 1 对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问 题，则可以大幅度降低求解难度。 平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体， 横截面大小和形状沿轴线 长度不变； 作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变； 柱体的两端受固定约束的 弹性体。这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。 根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。 对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。 学习要点： 1、平面应变问题； 2、基本物理量； 3、基本方程； 4、应力表 示的变形协调方程 1、平面应变问题 部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以 简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示 这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体， 横截面大小和形状沿轴线长度 不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。 这类工程问题，我们可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面， 则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。 因此物体变形时， 横截面 上的各点只能在其自身平面内移动。 设纵向轴为 z 轴，则沿 z 方向的位移恒等于零，位移只能发生在 Oxy 面内。 而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的 x、y 坐标，则有相同的位 移。所以物体的位移为 2 2 、基本物理量 根据几何方程 平面应变问题的应变分量 x ， y ， xy 均为坐标 x,y 的函数，而其余应变分量 z = xz= yz