能量原理之简洁版.pptx

能量原理§1 概述 缓慢加载，无热耗，弹性阶段（不必线性弹性）——外力功全部转化为应变能（变形能）。kFxFx△l弹簧的弹性势能qmFAAAqFmBAABABCCCFN(x+dx)FN(x)dx§2 弹性体应变能一、杆在基本变形下的应变能1.轴向拉压微线段应变能：杆中应变能：M1.轴向拉压2.圆轴扭转3.弯曲F1+F2E、A、lF1F2二、应变能的叠加(一)计算应变能时，一般不能“直接”叠加例：1.只加F12.只加F2如果将F1+F2视为一个力，应为3.直接“叠加”F1+F2F1F2F14.先加F1F2从零开始，缓慢加载5.再加F2加F2时，F1已经作用在杆上，对变形Δ2作功。6. 叠加ABΔ(二)组合变形时的应变能为什么此时可以叠加？F1F2ll例1.计算图示杆中的应变能(EA已知)解：1.用定义计算F1F1F2F2llllF22.先加F2，然后加F1（用外力功）FPCABm例2.计算图示梁中的应变能(EI已知)解：1.按定义计算FPCABFPCABm2.先加FP，再加mFPCABm注意：力作用处的挠度或转角一般未知，故基本方法是用内力计算。§2* 余功、应变余能一、功和余功余功功对于线性弹性问题二、应变能密度和余能密度一、功和余功余能应变能对于线性弹性问题线性弹性问题F用此式计算的是储存在杆件整体内部的总应变能 用此式计算的是单向应力状态下储存在单位体积内部的应变能（应变能密度或比能）。应变能密度和余能密度功和余功真实位移△CFPCCABAB虚位移△C§3 虚功原理（虚位移原理）、虚余功原理（虚力原理）一、虚位移、虚功；虚力、虚余功虚位移：结构的“变形协调性”得到满足的任意微小变形（位移）虚功：力在虚位移上作的功。真实状态FmADEBFPCA任意加一个力系B虚力：任一平衡力系对于完整约束的结构，如右图，在梁上加任意力系，必可以和约束反力构成平衡力系。虚余功：虚力在真实位移上所作的功。F2F112A12BAB真实力系虚位移M(x)M(x+dx)dx虚内位移真实内力二、虚功原理（虚位移原理）1.“真实力系在虚位移上作的虚功”等于“真实内力在虚内位移上所作的虚功”。2.说明（以梁为例）12ABF2F1虚功虚位移A12B真实力系真实内力虚内位移虚应变能M(x)M(x+dx)dx“真实力系在虚位移上作的虚功” 等于 “真实内力在虚内位移上所作的虚功”4.是结构平衡的充要条件3.对于组合变形F2F112AA12BB虚力真实位移M(x)M(x+dx)dx实内位移虚内力三、虚余功原理（虚力原理）1.“虚力在真实位移上作的虚余功”等于“虚内力在真实内位移上所作的虚余功”。2.说明（以梁为例）虚余功F2F112M(x)M(x+dx)AA实内位移12BB虚余能虚力真实位移虚内力4.是变形协调的充要条件3.对于组合变形虚功原理，虚余功原理天哪！“虚来虚去的，有啥用处？真实状态FPmF=1CABACB虚力虚内力M(x)§4 莫尔定理（单位荷载法）1.欲求C处位移△C，另画一梁，只在C处加一单位荷载，视为虚力，它引起的内力为虚内力2.由虚余功原理真实状态FPmF=1CABACB虚力虚内力M(x)Mi、Mxi 、FNi ：结构受C点n方向单位荷载时，i 杆中的弯矩、扭矩和轴力。一般形式△C：真实位移，不妨称为C点n方向的位移；Mi、Mxi、FNi：原荷载下，i 杆中的弯矩、扭矩和轴力；qACB2. 在要计算位移的位置施加相应的单位荷载；计算M(x)l2l1ACBl2l例1：求图示梁C处位移及转角；EI已知。解：1. 计算M(x)qACBl2l1ACBl2l3. 由积分式计算位移qACB4. 在要计算位移的位置施加相应的单位荷载；计算M(x)l2l1ACBl2lqACBl2lqqAABqBCCMCMCMCMC用叠加法解之1.在C处截梁为两段，在C端附加力偶如图示。C支座下移距离即C处挠度ωCqqBACCql2θC1θC2ql22.分别计算两段在C处的转角qqBACCql2θC1θC2ql2DFBACD1BAC例2：求A处位移及转角。已知BC=CD=2l，CA=l；各截面EA、EI。1. 求△A在F作用下单位荷载作用下DFBACD1BACDFBACD1BAC2.求θA在F作用下单位荷载作用下§5 卡氏定理1.卡氏第一定理在{Fi}、{△i}状态下:取虚位移：d△i≠0，其余d△j为零虚应变能虚功因此2.由虚余功原理a.{Fi}、{△i}为真实状态b.{0,···,dFi,···0}为虚力系3.卡氏第二定理（线弹性）对于线弹性问题，应变能与应变余能相等，即FCEAθAEA，lB例1.求图示支架中A点的铅垂位移A节点水平位移？FPCABm例2.求图示梁中C点的铅垂位移 和A处的转角D125CBθ43AF例3.求图示桁架中A点的位移。已知各杆的EA，1、2杆长