气体分子运动论和热力学基础之麦克斯韦速率分布律.pptx

气体分子运动论和热力学基础之麦克斯韦速率分布律第1页/共12页{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律[解析](1)在三维速度空间中，在速度间隔vx~vx + dvx、vy~vy + dvy、vz~vz + dvz内，分子数占总分子数的比例为其中dvxdvydvz是速度空间的“体积”元。当分子以速率v运动时，速度的平方为v2 = vx2 + vy2 + vz2，“体积”元可表示为dvxdvydvz = v2dvsinθdθdφ。对方位角φ从0到2π积分，对仰角θ从-π/2到π/2积分，“体积”元就变为4πv2dv，这是半径为v，厚度为dv的球壳的“体积”。上式可改写为第2页/共12页{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律这就是麦克斯韦速率分布函数。取f(v)dv是速率区间v~v + dv内分子数占总分子数的比例，f(v)的单位是速度单位的倒数s/m。是归一化常数。在速率区间v1~v2之内，或者在v- Δv/2 ~v +Δv/2之内(Δv = v2-v1)，分子数占总分子数的比例近似为可知：分布函数下的面积表示分子数占总分子数的比例。第3页/共12页取速率间隔为100m/s，速率分布函数由直方条组成，其顶部呈阶梯形折线。速率在100m/s~200m/s之内的分子数占总分子数的比例约为8.11%，速率在300m/s~400m/s之内的分子数占总分子数比例最高，大约为21.8%，速率在900m/s~1000m/s之内的分子数占总分子数比例只有0.658%。由于速率间隔比较大，分子数比例的误差也比较大。速率在0~100m/s之内的分子数占总分子数的比例约为1.04%，第4页/共12页极大值在350m/s~400m/s速率区间，极大值为。取速率间隔为50m/s，直方条变窄，顶部的阶梯变小。速率在0~50m/s之内的分子数占总分子数比例约为0.131%，速率在50~100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.14%，因此速率在0~100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.27%。速率间隔为100m/s的分子数比例都可分为两个间隔为50m/s的分子数比例之和。由于速率间隔减小了，分子数比例的误差也减小了。第5页/共12页极大值在375m/s~400m/s速率区间，极大值为。取速率间隔为25m/s，直方条更窄，顶部的阶梯更小。速率间隔为100m/s的分子数比例都可分为四个间隔为25m/s的分子数比例之和。速率间隔越小，分子数比例就越精确。速率在0~100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.33%。第6页/共12页第7页/共12页极大值在速率区间，极大值为。速率间隔不断减小，直方条越来越窄。当速率间隔趋于零时，顶部将趋于光滑的曲线，极大值范围趋于一点，极大值越精确。当速率间隔很小时，直方条很窄，直线都连成一片，顶部的阶梯几乎消失。速率在0~100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.35%。第8页/共12页{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律[解析](2)当v = 0时，f(v) = 0；当v→∞时，f(v)→0。由于f(v)不小于零，因此f(v)必有极大值。令df(v)/dt = 0，即可得这个速率称为最概然速率。在相同的速率间隔之内，最概然速率附近的分子数最多。分子向着各个方向运动时，在很大或很小的速率附近，分子数都很少。温度越高或分子质量越小，最概然速率就越大，分布函数的极大值就越小。分布函数的极大值为在温度一定的情况下，不同分子的质量是参数，函数曲线会随参数而有所改变。质量一定的分子，温度是参数，麦克斯韦速率分布的函数曲线会随参数不同而有所改变；第9页/共12页氧气分子在300K时的最概然速率约为395m/s，在600K时的最概然速率约为558m/s。对于分子质量一定的气体，温度升高则峰值降低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率小的分子数量减少了，速率大的分子数量增加了，分子运动得更剧烈了。第10页/共12页氢气分子的分子量是2，是氧气分子质量的1/16，在300K的温度下，最概然速率是氧气分子的4倍，达到1579m/s。氟气分子的分子量是38，在相同的温度下的最概然速率只有362m/s。第11页/共12页当气体温度一定时，质量较小的分子的速率分布曲线的峰值较低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率大的分子数量比较多，速率小的分子数量比较少。地球的逃逸速率约为1120m/s，由于氢气分子速率分布较宽，很多氢气分子的速率超过逃逸速度，能够脱离地球的吸引，因而大气中的氢气比较少。同理，空气中氦气也比较少。