概率论与数理统计(浙大版)第三章课件.pptx

概率论与数理统计(浙大版)第三章课件第1页/共101页§1 二维随机变量问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。第2页/共101页eS0定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y， 二元函数 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。第3页/共101页 即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点,位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。几何意义(X,Y)?平面上随机点的 坐标第4页/共101页(x1,y)(x2,y)yx2x1y2(x,y2)(x,y1)y1x 分布函数 的性质第5页/共101页0第6页/共101页则 2. 二维离散型随机变量的联合分布定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？ 第7页/共101页二维（X，Y）的联合分布律:(1)公式法第8页/共101页 YX(2)表格法(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律第9页/共101页XY例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，试求(X,Y)的联合分布律。解: (X,Y)所有可能的取值为：（0,3）（1,1）（2,1）（3,3）P(X=0,Y=3)=P(反反反)=183/8031/8001/8第10页/共101页例2: 设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(X,Y)的分布律。分析 (X,Y)所有可能的取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).第11页/共101页解：设X可能的取值为Y可能的取值为则：第12页/共101页(X,Y)的联合分布律为:123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16XY第13页/共101页 二维连续型随机变量第14页/共101页分布函数 是连续函数. (因为是积分上限函数)(2)的性质说明第15页/共101页反映(X,Y)落在 处附近的概率大小概率微分第16页/共101页描述(X,Y)的取值规律G第17页/共101页第18页/共101页1 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： 第19页/共101页第20页/共101页1 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解：第21页/共101页§2 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。事实上，第22页/共101页……y1yjy2p12p11……p1jYXp22…p21…p2jp1·pi ·pi2……pi1pijp2·…………p·2p·1p.j………………1……对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为X,Y的边缘分布律为：注意：第23页/共101页YX我们常在表格上直接求边缘分布律1第24页/共101页例: 求例1中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.0123103/83/8031/8001/81第25页/共101页X与Y的边缘分布律如下:0123Y13第26页/共101页实际应用例子XY第27页/共101页第28页/共101页第29页/共101页第30页/共101页对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 X,Y的边缘概率密度为：事实上， 同理：第31页/共101页Y-101Xa10.10.22b0.10.2X210.40.6-101Y0.50.20.3 例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) 解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即(2)第32页/共101页 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度 解：第33页/共101页 第34页