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圆心角和圆周角
圆心角和圆周角
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圆心角和圆周角
课 题
圆心角和圆周角
授课日期及时段
教学目的
1、理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理。
2、掌握圆心角定理的逆定理这一圆的性质。
3、理解圆周角的概念及相关性质,并能运用相关性质解决有关问题。
教学内容
一、课前检测
1、下列说法不正确的是(C )
A.过一点可作无数个圆,那是因为圆心不确定,半径也不确定
B.过两个点可以画无数个圆,圆心在这两点连线段的中垂线上
C.过不在同一直线上的三个点只能画一个圆,圆心是这三点构成的三角形的三内角平分线的交点,叫做内心
D.过不在同一直线上的三个点只能画一个圆,圆心是这三点构成的三角形的三边中垂线的交点,叫做外心
2、在Rt△ABC中,AB=6 , BC=8,那么这个三角形的外接圆直径是( D )
A. 5 或 4 D. 10或8
3、如图,已知⊙O的半径为5,弦AB=6,M是AB上任意一点,则线段OM的长可能是( C )
A. B. C. D.
4、AB为⊙0的直径,C为⊙O上一点,过C作CD⊥AB于点D,延长CD至E,使DE=CD,那么点E的位置 ( B )
A.在⊙0 内 B.在⊙0上 C.在⊙0外 D.不能确定
5、如图,AB是半圆⊙O的直径,E是BC的中点,OE交弦BC于点D.
已知BC=8cm, DE=2cm ,则AB的长为 10 cm.
6、填空:如图,在⊙O中,直径CD交弦AB(不是直径)于点E.
(1)若CD⊥AB,则有 AE=BE 、 = 、 = ;
(2)若 AE = EB,则有 CD⊥AB 、 = 、= ;
(3)若 =,则有CD⊥AB 、= 、AE=BE .
二、知识梳理
(一)圆心角
把圆绕圆心旋转180o,所得的像与原图形重合,所以圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心。由于圆上所有的点到圆心的距离都相等,所以把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的像都喝原图形重合。
N圆心角定义:顶点在圆心的角叫做圆心角。
N
N如图,∠NON就是一个圆心角。O
N
O
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等。
因为在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以我们把1o圆心角所对的弧叫做1o的弧。这样,no的圆心角所对的弧就是no的弧。
圆心角定理的推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦,两个圆心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。
(二)圆周角
如右图,∠BAC的顶点在圆上,它的两边都和圆相交,像这样的角叫做圆周角。
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
圆周角定理推论一:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90o的圆周角所对的弦是直径。
AB
A
B
C
D
三、重难点突破
例1、圆心角定理的证明
A已知在同一个圆中,有两条弦,弦AB和弦CD,圆心角∠AOB和∠COD之间的关系,且∠AOB=∠COD
A
C求证:=,AB=CDB
C
B
D
o
证明:∵∠AOB=∠COD,OA=OB=OC=OD
由圆的旋转不变性及图形的旋转变换知识得,图中两个阴影部分重合
∴ 点A与点C重合,点B与点D重合。
∴ AB=CD, 与重合。
两条圆弧相等。记作:“=”.
例2、如图,等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC.
⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度?
OBADP
O
B
A
D
P
是哪一种特殊三角形
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形,并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长?
⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少?
当r = 时求圆的半径
解:(1)∵AB=BC=CA
∴ ∠AOB =∠COB=∠AOC=120o(圆心角定理)
(2)∠BOD=180o—∠AOB=180o—120o=60o,
又∵OB=OD,
∴△OBD为等边三角形.
(3)∠COD=180o—∠AOC=180o—120o=60o.
∴△OCD也为等边三角形
∴OB=OC=OD=CD,即四边形BDCO是菱形.
(4)由菱形的性质,可得,
∴,
∴
答:等边三角形ABC的边长为.
(5)由(4)问中求得信息知,等边三角形边长和⊙O半径之比为
等边三角形ABC的边长为,
∴⊙O半径为.
例3、⑴如图,顺次连结⊙O的两条直径AC和
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