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圆心角和圆周角 圆心角和圆周角 PAGE PAGE PAGE 10 圆心角和圆周角 课 题 圆心角和圆周角 授课日期及时段 教学目的 1、理解圆心角的概念，并掌握圆心角定理。 2、掌握圆心角定理的逆定理这一圆的性质。 3、理解圆周角的概念及相关性质，并能运用相关性质解决有关问题。 教学内容 一、课前检测 1、下列说法不正确的是（C ) A．过一点可作无数个圆，那是因为圆心不确定，半径也不确定 B．过两个点可以画无数个圆，圆心在这两点连线段的中垂线上 C．过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三内角平分线的交点，叫做内心 D．过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三边中垂线的交点，叫做外心 2、在Rt△ABC中，AB=6 , BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（ D ） A. 5 或 4 D. 10或8 3、如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ C ） A． B． C． D． 4、AB为⊙0的直径，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB于点D，延长CD至E，使DE=CD，那么点E的位置 （ B ） A．在⊙0 内 B．在⊙0上 C．在⊙0外 D．不能确定 5、如图，AB是半圆⊙O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D． 已知BC=8cm, DE=2cm ，则AB的长为 10 cm. 6、填空：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB（不是直径）于点E. (1)若CD⊥AB，则有 AE=BE 、 = 、 = ； (2)若 AE = EB，则有 CD⊥AB 、 = 、= ； (3)若 =，则有CD⊥AB 、= 、AE=BE . 二、知识梳理 (一)圆心角 把圆绕圆心旋转180o，所得的像与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，所以把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的像都喝原图形重合。 N圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 N N如图，∠NON就是一个圆心角。O N O 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等。 因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以我们把1o圆心角所对的弧叫做1o的弧。这样，no的圆心角所对的弧就是no的弧。 圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 （二）圆周角 如右图，∠BAC的顶点在圆上，它的两边都和圆相交，像这样的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 圆周角定理推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径。 AB A B C D 三、重难点突破 例1、圆心角定理的证明 A已知在同一个圆中，有两条弦，弦AB和弦CD，圆心角∠AOB和∠COD之间的关系，且∠AOB=∠COD A C求证：=，AB=CDB C B D o 证明：∵∠AOB=∠COD,OA=OB=OC=OD 由圆的旋转不变性及图形的旋转变换知识得，图中两个阴影部分重合 ∴ 点A与点C重合，点B与点D重合。 ∴　AB=CD， 与重合。 两条圆弧相等。记作:“=”. 例2、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC． ⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？ ＯＢＡDP Ｏ Ｂ Ａ D P 是哪一种特殊三角形 ⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。 ⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？ ⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？ 当r = 时求圆的半径 解：（1）∵AB=BC=CA ∴　∠AOB =∠COB=∠AOC=120o(圆心角定理) （2）∠BOD=180o—∠AOB=180o—120o=60o， 又∵OB=OD， ∴△OBD为等边三角形. （3）∠COD=180o—∠AOC=180o—120o=60o. ∴△OCD也为等边三角形 ∴OB=OC=OD=CD,即四边形BDCO是菱形. （4）由菱形的性质，可得, ∴， ∴ 答：等边三角形ABC的边长为. （5）由（4）问中求得信息知，等边三角形边长和⊙O半径之比为 等边三角形ABC的边长为, ∴⊙O半径为. 例3、⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径AＣ和