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已知一受力物体中某点的应力状态为：
式中 a 为已知常数， 且 a ＞0 ，试将该应力张量 分解为球应力张量 与偏应力张量
之和。 为平均应力。并说明这样分解的物理意义。
解：
球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。 偏应力张量作用下单元体只产生畸
变。塑性变形只有在畸变时才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。
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一很长的（沿 z 轴方向）直角六面体，上表面受均布压 q 作用，放置在绝对刚性和光滑的基础
上，如图所示。若选取 ＝ay2 做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。
（提示：①基础绝对刚性，则在 x ＝0 处， u ＝0 ；②由于受力和变形的对称性， 在 y ＝0 处，
v ＝0 。）
解： ，满足 ，是应力函数。相应的应力分量为：
， ， ； ①
应力边界条件：在 x = h 处， ②
将式①代入②得： ，故知：
， ， ； ③
由本构方程和几何方程得：
④
积分得： ⑤ ⑥
在 x=0 处 u=0，则由式⑤得， f 1(y)= 0 ；
在 y=0 处 v=0 ，则由式⑥得， f 2(x)=0 ；
因此，位移解为：
附，对比另一方法：
例， z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝
对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且 h b 。试选取适当的应力函数解此问
题，求出相应的应力分量。
x
p
b b
h
2 2
O
y
解答： 1、确定应力函数
2
分析截面内力： M x 0,Q x 0, q x 0 ，故选取 0,
y 2
x
积分得： xf1 y f2 y ，代入相容方程，有：
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