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向量难题附加解析 向量难题附加解析 PAGE第PAGE11页（共NUMPAGES11页） 向量难题附加解析 2016年02月12日高中数学组卷 　 一．选择题（共4小题） 1．（2015?天津校级一模）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则λ2?λ3取到最大值时，2x+y的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 　 2．（2015?哈尔滨校级三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 　 3．（2014?安庆三模）如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（　　） A． B． C． D． 　 4．（2013?重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（　　） A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，] 　 　 二．填空题（共6小题） 5．（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为　　　　　　． 　 6．（2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=　　　　　　． 　 7．（2014?余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则的取值范围是　　　　　　． 　 8．（2014?韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是　　　　　　． 　 9．（2010?武昌区模拟）△ABC的面积为1，，P为△ABC内一点，且，则△BCP的面积为　　　　　　． 　 10．（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是　　　　　　． 　 　  2016年02月12日MISAYA的高中数学组卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共4小题） 1．（2015?天津校级一模）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则λ2?λ3取到最大值时，2x+y的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【考点】平面向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式． 【专题】计算题；压轴题；不等式的解法及应用；平面向量及应用． 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，从而得到S1=S=S2+S3．由此结合基本不等式求最值，得到当λ2?λ3取最大值时点P在EF的中点．再由向量的加法的四边形法则，算出，结合已知条件的等式，可求出x、y的值，从而算出2x+y的值． 【解答】解：由题意，可得 ∵EF是△ABC的中位线， ∴P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，可得S1=S=S2+S3 由此可得λ2?λ3=≤= 当且仅当S2=S3时，即P为EF的中点时，等号成立． ∴+= 由向量的加法的四边形法则可得，， ∴两式相加，得 ∵由已知得 ∴根据平面向量基本定理，得x=y=，从而得到2x+y= 综上所述，可得当λ2?λ3取到最大值时，2x+y的值为 故选：D 【点评】本题给出三角形中的向量等式，在已知面积比λ2、λ3的积达到最大值的情况下求参数x、y的值，着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法则和平面向量基本定理等知识，属于中档题． 　 2．（2015?哈尔滨校级三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到①；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到=，②．由①②可得O分DE所成的比，从而得出λ的值． 【解答】解：， 变为． 如图，D，E分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知 故① 在正三角形ABC中， ∵==， 且三角形AOC与三角形ADC同底边AC， 故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一， 故=，?=﹣② 由①②得λ=． 故选A． 【点评】本小题主要考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 　 3．（2014?安庆三模）如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（　　） A． B． C