2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点参考.pdfVIP

2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题评阅要点 问题 （1） 利用附件 1 的数据预测继续治疗的效果， 或者确定最佳治疗终止时间。 1．分析数据 随机取若干个病人，画出他们 CD4 和 HIV 浓度随时间变化的图 形（折线），可以看出 CD4 大致有先增后减的趋势， HIV 有先减后增的趋 势，启示应建立时间的二次函数模型 （若先用一次函数模型， 应与二次函数 模型做统计附件 1 中个别病人缺 CD4 或 HIV 数据（数据表中为空），计算 时应注意。 2 ．建立模型 可能有以下形式的回归模型： 2 1） 总体回归模型 用全部数据拟合一个模型，如 y ij =b0+b1tij +b2tij ，tij 为第 i 病人第 j 次测 量时间， yij 为第 i 病人第 j 次测量值（ CD4 ，HIV ）或测量值与初始值之比。一次与二次函 数模型比较，二次较优。用数据估计 b ,b ,b , 对 CD4 ，b 0, b 0, t=-b /2b 达到最大；对 0 1 2 2 1 1 2 HIV ，b 0,b 0, t=-b /2b 达到最小。一般在 25~30 （周）CD4 达到最大、 HIV 达到最小。 2 1 1 2 可以合理地确定最佳治疗终止时间。 2) 个人回归模型 用每个病人的数据拟合一个模型， 如上式 （bk 改为 bik, k=0,1, 2 ）， 计算 bik 的均值和均方差，用均值同 1）可得 CD4 的最大点和 HIV 的 最小点，一般为 20~30 （周）。可对 CD4 统计 b2i 0, b1i 0 （存在正最大点） 及 b 0 （不存在最大点）的频率，对 HIV 统计 b 0, b 0 （存在正最小点） 2i 2i 1i 及 b 0 （不存在最小点）的频率，在一定条件下可以作为终止治疗与继续 2i 治疗的概率（一般为 0.6~0.8 与 0.3~0.2）；也可用 bik 的均值和均方差在一 定分布的假定下直接计算这些概率。 3 ）分段时序模型 对 yij 用 j 以前的资料如 yi ，j-1, tij-ti ，j-1 ，j-1 段的斜率等为 变量建立模型（ j=3,4,5,6 ），由数据估计系数，预测 yij ，然后对 CD4 统计 预测的 yij 大于实际的 yi ，j-1 的频率，对 HIV 统计预测的 yij 小于实际的 yi ， j-1 的频率，由此得到应终止治疗的时段。 4 ）纵向数据回归模型 （处理这类问题的专门方法） 将模型 2 ）的 bik 分解为固 定效应参数 bk,与随机效应参数 ik 之和（ k=0,1,2），设 ik 服从零均值正 态分布，利用极大似然估计可以得到 bk 的估计值及 ik 的方差。 bk 的估计 值用于计算 CD4 的最大点和 HIV 的最小点， 它与 ik 的方差一起可以像 2 ） 一样在正态分布假定下计算终止治疗与继续治疗的概率。 注 1 建立几种模型相互比较、验证者较优。 注 2 不能只有模型， 不做统计分析； 对模型结果进行统