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圆锥曲线综合试题(全部大题目)含标准答案 圆锥曲线综合试题(全部大题目)含标准答案 PAGEPAGE7 / NUMPAGES7 圆锥曲线综合试题(全部大题目)含标准答案 1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线外一点的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB的交点为Q。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为； （2）求证：. 2.已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且 （1）动点N的轨迹方程； （2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围. 3.如图，椭圆的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支上（轴上方）一点，连AP交C1于C，连PB并延长交C1于D，且△ACD与△PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角. 4.已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 5.已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈R) （Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围； （Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。 6.如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： (1)求点P的轨迹方程； (2)若,求点P的坐标. 7.已知为椭圆的右焦点，直线过点且与双曲线的两条渐进线分别交于点，与椭圆交于点. （I）若，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II）若（为坐标原点），，求椭圆的离心率。 8.设曲线（为正常数）与在轴上方只有一个公共点。 （Ⅰ）求实数的取值范围（用表示）； （Ⅱ）为原点，若与轴的负半轴交于点，当时，试求的面积的最大值（用表示）。 1.（1）略　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 xyO（2）为简化运算，设抛物线方程为，点的坐标分别为，点，直线， x y O 一方面。要证 化斜为直后 只须证： 由于　　 另一方面，由于所以切点弦方程为： 所以　　　　　 从而　　　　　 即　　　　　　 2. （1）设动点N的坐标为（x,y），则…………………2分 ，因此，动点的轨迹方程为……4分 （2）设l与抛物线交于点A（x1,y1）,B(x2,y2)，当l与x轴垂直时， 则由，不合题意， 故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由…6分 由点A，B在抛物线 又y2=4x, y=kx+b得ky2－4y+4b=0,……………………8分 所以……10分 因为解得直线l的斜率的取值范围是.………………………………………………………………12分 3.由题意得C为AP中点，设， 把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得 解之得： 故直线PD的斜率为，直线PD的方程为 联立，故直线CD的倾斜角为90° 4.解法一： （Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，实 半轴长 又半焦距 c=2，故虚半轴长所以 W 的方程为, （Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为, 当 AB⊥x轴时,从而从而当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故所以. 又因为,所以,从而综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2. 解法二: (Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则令则且所以当且仅当,即时””成立. 所以的最小值是2. 5. (1)当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为 即是0k2或2k4 （Ⅲ）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m 方程（2）的△0，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为 6. (1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b=， 所以椭圆的方程为 (2)由得 ① 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中， ② 将①代入②，得 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上. 由(1)知，点P的坐标又满足，所以 由方程组解得 即P点坐标为 7.解：（I），是直线与双曲线两条渐近线的交点， ，即………………2分 双曲线的焦距为4，……………………4分 解得，椭圆方程为…………5分 （II）解：设椭圆的焦距为，则点的坐标为 ， 直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的方程为…………………………………………7分 由解得即点 设由，得 即……10分。 点在椭圆上，………………………………12分 ， 椭圆的离心率是。 8.（Ⅰ）由， ……① 设，则问题（Ⅰ