《九章算术》开方算法系统和与现代计算机程序的比较.pdf

《九章算术》开方算法系统 及其与现代计算机程序的比较 傅海伦 中国古代把开方法与二次、三次或高次数字方程解法统称为开方术。《九章算术》 少广章 提出了完整的开平方、开立方程序。 一、《九章算术》的开平方程序 2 开平方相当于求 x = N 的根。 开方术曰：「置积为实。借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一 算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算，步之如 初，以复议一乘之，所得副以加定法，以除。以所得副从定法。复除，折下如 [1] 前。…」 《九章算术》给出的术文言简意赅，在开方筹式中每一个数字的记数和入 算，都严格遵循位置值制。由于其中明确指出：「复除，折而下」、「复除， 折下如前」，可见，这是一个具有一般性的机械化算法程序。即是说，不论平 方根有多少位数，反复实施这一程序都可求出来。所以，在此有必要对一般情 形下的这种机械化程序加以剖析。 以总的来说，开平方的程序是：首先作四行的筹式布算，即从上到下的四 行依次布以方根（「议所得」）、被开方数（实）、法和借算，然后机械反复 实施「超」、「议」、「除」、「折」的四大步骤，直至「适尽」、结束。 「超」：将置于个位上的借算自右向左隔一位移一步，移到与实的最高位 （N为奇数位）或次高位（ N为偶数位时）对齐为止。若移 n 位，这相当于将 2n 2 方程进行倍根变换，变换后的方程为 10 x1 = N 的形式，如图 (2) 「议」：议得根的第一位得数为 a1 2n 2n 「除」：以a 乘借算 10 得 10 a 作 为法。置于第三行，使得以法除实时， 1 1 2 n 2 2n 2n [2] a N a N 1 1 1 1 恰得商 1 ，而余数 1 小于 10 1 ： ÷(10 a ) = a + N / 10 a 。 2n 2n 1 「折」：撤去借算，将法 10 a 加 倍为定法，并将定法向右退一位为 2? 10 －1 1 a 如图 (4)，再在下行个位上布置借一算。 为求方根第二位得数，需要重复以上四个步骤： 「超」：将置于个位上的借算自右向左隔一位移一步，显然祇需移 n－1 步， 2n－2 2n－2 2 2n－1 2n 2 2 1 2 1 即 10 如图 (5)，这又相当于求方程 10 x + 2? 10 a x = N－10 a 的 正根。