运用函数与方程思想解题的策略.pdf

第 一 节 - - 运 用 函 数 与 方 程 思 想 解 题 的 策 略 ( 理 ) ( 共 1 2 页 ) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可 -- -- 内页可以根据需求调整合适字体及大小 -- 第一节 运用函数与方程思想解题的策略（理） 【地位与作用】 纵观近几年的高考数学试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与 方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一。高考试题中，既有灵活多变的客 观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数 学高考整份试卷。函数与方程思想是最重要的一种数学思想 ,高考中所占比重比较 大，与函数相关的试题所占比例始终在 20%左右，高考题对函数的思想方法的考 查已经达到较高的层次，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数与方程思想几 乎渗透到高中数学教学的各个领域，在高中新课标数学中，还安排了函数与方程 这一节内容，可见其重要所在。 【高考要求】 能力要求：逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别 能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力。 方法要求： 函数思想主要有：（ 1）引入变量，确定函数关系；（ 2 ）选定主元，揭示函 数关系； (3)选取变元，构造函数关系；（ 4 ）实际问题，建立函数关系；（ 5 ）特 殊函数，转化函数关系。 方程思想主要有：（ 1）待定系数求解方程；（ 2 ）分类思想讨论方程； （2 ）变量代换构造方程。 主要题型：（ 1）利用函数与方程的性质解题；（ 2 ）构造函数与方程解题； （3 ）函数、方程、不等式三者之间的相互转化；（ 4 ）函数与方程在立体几何中 的应用；（ 5 ）函数与方程在解析几何中的应用；（ 6 ）函数与方程在导数中的应 用；（ 7）函数与方程在数列中的应用；（ 8 ）应用函数与方程研究实际问题。 【例题选讲 】 1.利用函数与方程的性质解题 例 1.(2009 年山东卷文科第 12 题)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，满足 f (x 4) f ( x) ,且在区间 [0, 2] 上是增函数 ,则( ) A. f ( 25) f (11) f (80) B.f (80) f (11) f ( 25) C. f (11) f (80) f ( 25) D.f ( 25) f (80) f (11) 【点拨】首先由 f (x 4) f ( x) 可得 T 8 ，再利用函数的奇偶性、周期性化简 得 f (80) f (0) 0 ， f ( 25) f ( 1) f (1) ， f (11) f (1) ，再利用单调性进 行大小比较 . 【解答过程】:因为 f (x) 满足 f (x 4) f (x) ,所以 f (x 8) f ( x) , 所以函数是以 8 为周期的周期函数 , 则 f ( 25) f ( 1) , f (80) f (0) , f (11) f (3) , 2 又因为 f (x ) 在 R 上是奇函数， f (0) 0 , 得 f (80) f (0) 0 , f ( 25) f ( 1) f (1) , 而由 f (x 4) f (x) 得 f (11) f (3) f ( 3) f (1 4) f (1) , 又因为 f (x ) 在区间 [0, 2] 上是增函数 ,所以 f (1) f (0) 0 ,所以 f (1) 0 , 即 f ( 25) f (80) f (11) ,故选 D