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正弦信号抽样的几点思考
连续的正弦信号 x(t)
x(t)=Asin( 0 t )
信号的频率为 f0 ，角频率为 0
对连续周期信号 x(t) 进行抽样，其抽样时间间隔为 T,抽样后信号表示为，
x(n)=x(t)| t nT =Asin( 0 nT+ )
如果令 为数字频率，满足：
0 0T
讨论正弦序列的周期性，
2 1
2
0 0T
2 2
若 为整数，该系列的周期就是 ；
0 0
2 2 N
若 不是整数，而是一个有理数（表示为分数） = ，其中 N 和 k 为互素的整
0 0 k
数，那么周期就是 N ；
2
若 是无理数，则正弦系列没有周期信。
0
讨论问题一：对于正弦信号抽样不宜补零，用 MATLAB 验证，
对于信号： x(t)=2*sin(4 t) 抽样间隔 T =0.01 ，即 t=0.01n;
2 1 2 2
用上面的 0 0 T ，再结合 2 ，求得 =50 ，所以变成
0 0T 4 * 0.01 0
了周期 N 为 50 的正弦系列。
取 N 为 50 时，
N=50;
n=0:N-1;
x=2*sin(4*pi*0.01*n);
Xk=dft(x,N);
magXk=abs(Xk(1:floor(N/2)+1));
angXk=angle(Xk(1:floor(N/2)+1));
H=floor(N/2);h=0:H;
w=2*pi*h/N;
subplot(2,1,1);stem(w/pi,magXk);
title(DFT magnitude);
xlabel(frequency in pi units);
subplot(2,1,2),stem(w/pi,angXk)
xlabel(frequency in pi units);
N=50;
n=0:N-1;
x=2*sin(4*pi*0.01*n);x=[x,zeros(1,50)];K=100;
Xk=dft(x,K);
magXk=abs(Xk(1:floor(K/2)+1));
angXk=angle(Xk(1:floor(K/2)+1));
H=floor(K/2);h=0:H;
w=2*pi*h/K;
subplot(2,1,1);stem(w/pi,magXk);
title(DFT magnitude);
xlabel(frequency in pi units);
subplot(2,1,2),stem(w/pi,angXk)
xlabel(frequency in pi units);
可以看出两者的信号频谱是不一样的，加零后频率泄露
对于一般信号，如用 rand （1,50）产生的信号，补零到 100 点后，同样画出频率特性，
N=50;
n=0:N-1;
x=rand(1,50);
Xk=dft
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