正方体展开图规律.pdf

正方体展开图规律 一、基本知识 1.点、线、面、区域的关系 平面图形和立体图形的欧拉公式 2.截面形状的确定 ①立方体被某平面所截，可以得到截面形状有：三角形、四边形、五边形、六边形。 ②其 他图形的截面。 例：圆锥被被某平面所截，可以得到截面形状有：三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。 尤其是圆锥被平行于轴对称面的竖直平面截取，截面形状不是三角形，而是抛物线。 二、 正方体展开图规律的研究 试着将一个正方体的盒子剪开， 我们会发现： 随着剪纸的方向不同，展开图完全不同， 似乎 没有什么规律可遵循，但不要着急， 换个角度来考虑问题。我们知道， 所有正方体都是六个 面，同时找 6 个面展开图的分布规律的确很困难， 我们能不能先找出其中 4 个面展开的分布 规律，然后再研究其他两个面的分布规律呢？ 4 个面展开的分布规律有两个。 最容易想到的分布规律是第一个，如图 1，我们称其为“长方形结构” 它组合起来恰好是一个无两个底的立方体桶状图形， 仅缺少上下两个底面， 而上下两个底面 的位置恰好可由上图中的的上下两条边来定， 图 2 中标号为 1 的面其位置有 4 个，代表上底 面，标号为 2 的面其位置也有 4 个，代表下底面。 第 2 个分布规律如图 3 所示，我们可以形象地称它为“ Z 字结构”，大家一定能想象到，它 拼合起来是个什么图形， 对，应该是个类似撮箕的东西， 现在缺少两个面： 上边的面和前边 的面，我们现在研究如何把 2 个面补上。 经研究发现，当我们将一个面连接在 AB 、 BC 、DH 边上时，恰好可以封闭上面的面，而将 另一个面连接在 AE 、FG 、GH 边上时，可以封闭前面的面。由于 Z 字结构可看成是由两个 图形“┐”和“└”叠加而成，而拼合时， C 和 D 两点重合， E 和 F 两点重合，故 AB 、BC 、 DH 恰好位于“┐”边上， AE 、 FG、GH 则恰好是位于“└”边上。 找到规律后，我们便可以很方便的确定具有 Z 字结构的分布规律。图 4 给出了两种具有 图 1 分布规律一 图 2 展开图例 1 2 1 2 C B A H G F E D 图 3 Z 字结构分布规律 var script = document.createElement(script); script.src = /resource/baichuan/ns.js; document.body.appendChild(script); Z 字结构的正方体展开图，其中图 4 A 是正写的 Z 字，图 4 B 是反写的 Z 字。反写的 Z 字， 其分布规律和正写的 Z 字类似，区别仅仅是将反写 Z 看成是两个图形┌和叠加而成。 我们研究不难发现， 如果展开图旋转、翻转， 移动可以重合的算同一种情况， 则正方体 展开图不同的共有 11 种情况。 三、展开图的特点 1.对面的确定， ①Z 字结构的头和尾属于对面，②对于 面 1 和面 3 为对面。 2.展开图中的垂直边，在组成正方体时会重合。 3.重合的顶点确定 图 4 Z 字结构展开图例 (A) 正写 Z 字结构 (B) 反写 Z 字结构 1 3 var script = document.createElement(script); script