平面的法向量与平面的向量表示2.ppt

3.2 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示;3．2.2　平面的法向量与平面的向量表示 ?;平行与垂直关系的向量表示; （2）垂直关系; 1．平面的法向量 已知平面α，如果向量n的基线与平面α ，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件 ·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直的 ， 通常称为一个平面的向量表示式．; 3．两平面平行、垂直的判定 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 ①α∥β或α与β重合 ? ； ②α⊥β? ? ． 4．正射影与三垂线定理 (1)正射影： 已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点 A′，则A′就是点A在平面α内的 ，简称 ．; (2)三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 垂直，则它也和这条斜线垂直． (3)三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的 垂直．; 1．用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键． 2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．; [例1]　已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一个法向量．;[一点通]　利用待定系数法求法向量的解题步骤：;1．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)， 则该平面的一个法向量为 (　　) A．(1，－1，1)　　　　　　　B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1); [思路点拨]　建立空间坐标系．求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．; [一点通]　设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且l?α，α与β不重合，则 (1)l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； (2)l⊥α?a∥u?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)； (3)α∥β?u∥v?(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)； (4)α⊥β?u⊥v?u·υ＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.;3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面 CD1B1.;4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中 点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.; [例3]　在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：A1C⊥平面BDC1. ; [精解详析]　在正方体中，AA1⊥ 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影． 所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1. ; [一点通]　 (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明． (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．;5．正三棱锥P-ABC中，求证：BC⊥PA.;6．在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的射影O1是 △BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的射影O2必是△ACD的垂心．; 1．确定平面的法向量通常有两种方法： (1)利用几何体中已知的线面垂直关系； (2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线 两向量的垂直关系建立方程