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定积分近似计算方法 定积分近似计算方法 PAGE第1页 共17页 定积分近似计算方法 定积分的近似计算方法 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等. 关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1引言 在计算定积分的值时,常常根据微积分学基本定理求出的一个原函数,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是无法用初等函数表示,例如,,等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值. 与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数来近似代替,且的值容易求的.这样就把计算复杂的转化为求简单的积分值.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题. 2常见数值方法 牛顿-科茨数值方法 牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式. 利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是： 给定区间上一组节点,以及节点处函数,作的次拉格朗日多项式 , 其中 ,将插值公式 第2页 共17页 . 其中 ,,依赖于变量, 上式积分得 若记 ….. (1) , (2) 则有 (3) 称式(3)为插值求型公式,其中…. 与无关,叫求积系数, 为求积节点, 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定. 梯形求积公式 1梯形公式 当插值节点分别选取区间端点时,由式(3)分别求出求积系数 , . 从而的求积公式 . (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式. 第3页 共17页 2梯形公式截断误差: . (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当时,式(5)中 . 精确成立. 辛普森求积公式 1辛普森求积公式 当选取节点为时,由式(1)求下列求积系数 , . . 从而求积公式 . （6） 称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式. 2抛物线求积公式误差估计 定理1.若在上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为: . (7) 3抛物线公式的代数精度为3. 易验证,当时,式(6)精确成立,而当时,式(6)不能精确成立. 牛顿-科茨公式 1牛顿-科茨公式 第4页 共17页 在等距离节点下,其中…. .作为变量替换,那么由求积公式(1),得系数: (8) 则 (9) 于是差值求积公式