高中阶段的数学建模.doc

高中阶段的数学建模 ????????数学建模是对实际问题进行抽象，并概括为数学问题的基本方法。它的灵魂是数学的运用。在高中阶段培养学生的建模能力能提高学生将数学理论知识结合实际生活的能力。常见的题目主要以函数应用题为载体，考查学生的建模能力。常见的类型主要有：一次函数y=ax+b（a≠0），二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），函数y=ax+■（a≠0），等等。 ????????一、一次函数模型 ????????例1：甲乙两车同时沿着某条公路从A地驶往300 km外的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2 h后，再以100 km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶。 ????????（1）请将甲车离A地路程x（km）表示离开A地时间t（h）的函数，并画出这个函数图象； ????????（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括A、B两地），试确定乙车行驶速度v的取值范围。 ????????解：（1）75t，0≤t≤2；150，2 ????????其图象如图折线OPQR： ????????（2）由已知：乙车离A地的路程X（km）表示为离开A地的时间t（h）的函数为X=vt（0≤t≤■），其图象是一条线段。 ????????由上图知，当此线段经过点（4，150）时，v=■（km/h）；当此线段经过点（5.5，300）时，v=■（km/h）。即当■ ????????点评：由已知条件建立一次函数模型，再由图象进行研究，体现了数形结合思想，使问题更加直观。 ????????二、二次函数模型 ????????例2：某旅行社有100张普通床位，若每床日收费10元时，床位可以全部租出；若每床日收费提高2元，便减少10张床位租出；若再提高2元，便再减少10张床位租出，依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，应每床日收费提高多少元？ ????????解：设每床日提高收费2x（x∈N+）元，则可租出（100-10x）张床位，设可获利润为y元，由题意知：y=（10+2x）（100-10x）， ????????所以y=-20（x-■）2+1125 ????????由x∈N+，当x=2或x=3时，ymax=1120（元） ????????当x=2时，需出租床位80张；当x=3时，需出租床位70张。即x=3时的投资小于x=2时的投资。 ????????点评：由已知将此题抽象为二次函数模型。此类通常会遇到二次函数求最值问题，常用的方法是配方，但是一定要注意变量x的取值范围。 ????????三、函数y=ax+■（a≠0）型 ????????例3：某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机。该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元。已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为■x件，每个元件的库存费是一年2元，请核算一下，每年进货几次花费最小？ ????????解：设购进8000个元件的总费用是F，一年总库存费为E，手续费为H，其他费用为C（C为常数）， ????????则E=2×■x，H=500×■，x=■， ????????F=E+H+C=2×■x+500×■+C ????????=500（■+n）+C≥4000+C ????????当且仅当■=n，即n=4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。 ????????点评：由已知建立函数模型y=ax+■（a≠0），再由基本不等式求解，应当特别注意不等式中等号成立的条件。 ????????四、以概率统计知识为背景的题目 ????????例4：已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病。下面是两种化验方法： ????????方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。 ????????方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。 ????????（1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； ????????（2）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望。 ????????解：（1）对于甲： ????????■ ????????对于乙： ????????■ ????????0.2×0.4+0.2×0.8+0.2×1+0.2×1=0.64 ????????（2）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为Eξ=2 ????????×0.4+3×0.4+4×0.2=2.8 ????????点评：利用实际问题做背景，要求学生从实际问题中抽象出问题所体现出来的概率统计意义。 ????????五、构造恰当的函数模型证明不等