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[ 阅读材料——含参不等式恒成立问题 ]
一、 判别式法 : 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
2
一般地，对于二次函数 ( ) ( 0, )
f x ax bx c a x R , 有
a 0 a 0
（1） f (x) 0对 x R恒成立 ; （2 ） f (x ) 0 对 x R恒成立 .
0 0
2 a b 0 a 0 2 a b 0 a 0
注 : ① 恒成立 ; ② 恒成立
ax bx c 0对x R 或 ax bx c 0对x R 或
c 0 0 c 0 0
2
例：关于 x 的不等式 ax ( a 1)x a 1 0 对于 x R恒成立，求 a 的取值范围．
解 :(1) 当 a 0 时，原不等式化为 x 1 0 , 不符合题意，∴ a 0 .
a 0 a 0 a 0 1 1
(2) 当 a 0时 , 则 2 2 a ∴ a 的取值范围为 ( , )
(a 1) 4a(a 1) 0 3a 2a 1 0 (3a 1)(a 1) 0 3 3
例：若函数 f (x ) kx2 6kx (k 8) 的定义域为 R，求实数 k 的取值范围
解： (1) 当 k 0 时， f (x ) 8 满足条件 .
k 0
(2) 当 k 0 时 , 则 2 0 k 1 . 综合 (1)(2) 得： k 的取值范围是 [0,1]
36k 4k(k 8) 2
例 : 已知函数 y lg[ x 2 (a 1)x a2 ] 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。
2 2 2 2 1
解：由题意得：不等式 x (a 1)x a 0对 x R恒成立， 即有 (a 1) 4a 0 ，解得 a 1或a 。
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