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实验 2 差分方程和数值微分 题目 3 4 3 3 某湖泊每天有 10 m 的河水流入， 河水中污物浓度为 0.02g / m ，经渠道排水后湖泊容 4 3 0.2g / m3 积保持 200 10 m 不变，现测定湖泊中污物浓度为 ，建立差分方程计算湖泊中 1 年内逐月（按 30 天计算）下降的污物浓度，问要多长时间才能达到环保要求的浓度 3 0.04g / m ？为了把这个时间缩短为一年，应将河水中污物浓度降低到多少？ 【模型及其求解】 V V x 记湖泊总水量 0 ，每天流入湖泊的河水量 in ，湖泊最初污物浓度 0 ，目前河流的污物 浓度 pr0 ，假定外部环境没有任何其他的污染物进入湖泊，并且湖泊本身不会制造污染物， 流入湖泊的河水的污物浓度不变， 不考虑每天任意时刻河水与湖水的混合过程， 另外， 假定 湖很大，河流入水口与湖泊出水口相距很远（认为当天从湖泊流出的水的浓度是不变的） ， 同时，湖水的总量任意时刻都保持不变（不会出现先蓄积再排出的现象） 。基于以上假定， x x p 则第 k 天湖水的污物浓度 k 只和第 k-1 天湖水的污物浓度 k 1及流过的河水污物浓度 r 有 关，可以得到如下关系式： V0 Vin Vin pr 0 xk xk 1 V0 V0 V0 Vin Vin pr 0 a b 记 V0 ， V0 ，则： xk axk 1 b 代入题目中给定的数据，在 MATLAB 中计算。源程序为： %第二章第 3 题源程序 clear all V0 = 200*10^4; %参数初始值设定 Vin = 10^4; K = 0; pr0 = 0.02; x0 = 0.2; a = (V0-Vin)/V0; P = [0 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.14 0.16 0.2 0.24] %河水不同的污物浓度 for j = 1:11 pr = P(j); b = Vin*pr/V0; x(1) = x0; x(2) = a*x(1) + b; for k = 2 : 720 x(k) = a*x(k-1) + b; %差分关系式 C(j,k) = x(k); %湖水污物浓度变化矩阵 end C(j,1) = x0; if (j =