相似三角形综合题(添辅助线).pdf

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相似三角形综合题练习 1.已知点E 在△ ABC 内,∠ABC= ∠EBD=α,∠ACB= ∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°. (1)当α=60°时(如图1), ①判断△ ABC 的形状,并说明理由; ②求证:BD= AE ; (2 )当α=90°时(如图2 ),求 的值. 1 / 69 2 .如图:在Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,点P 为△ ABC 所在平面上一点,且∠BPC=135°,连接 PA . (1)当点P 在△ ABC 外时(如图①),求证:PA ﹣PB= PC . (2 )当点P 在△ ABC 内时(如图②),过点C 作CD⊥PA,垂足为D,设BP 的延长线交CD 于E ,若AD=8 , CE=5,求PB 的长. 2 / 69 3 .在△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,点P 为△ ABC 外一点(P 与C 在直线AB 异侧),且∠APB=45°, 过点C 作CD⊥PA,垂足为D . (1)求证:PA=2CD ; (2 )设点P 关于AB 的对称点为E,连接PE 、CE,试判定线段AB 与CE 的数量关系,并给予证明. 3 / 69 4 .如图,在△ ABC 中,∠ACB=90°,BC=nAC ,CD⊥AB 于D,点P 为AB 边上一动点,PE ⊥AC ,PF ⊥BC, 垂足分别为E、F . (1)若n=2 ,则 = ; (2 )当n=3 时,连EF、DF ,求 的值; (3 )当n= 时, = (直接写出结果,不需证明). 4 / 69 5 .已知E 为△ ABC 内部一点,AE 延长线交边BC 于点D ,连接BE 、CE,∠BED= ∠BAC=2 ∠DEC . (1)如图①,若AC=AB ,求证:BE=2AE ; (2 )如图②,在(1)的条件下,将∠ABC 沿BC 翻折得到∠FBC ,AE 延长线经过点F,M 为DF 的中点, 连接CM 并延长交BF 于点G .若CG=3 ,AE=2DE ,求BD 的长. 5 / 69 6.如图,在矩形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BE 上的一点,连结CF 并延长交AB 于点M,MN ⊥CM 交射线AD 于点N . (1)当F 为BE 中点时,求证:AM=CE ; (2 )若 = =2 ,求 的值; (3 )若 = =n ,当n 为何值时,MN ∥BE ? 6 / 69 7 .如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BCD=90°,AD=6 .BC=3 ,DE ⊥AB 于E ,AC 交DE 于F (1)求AE•AB 的值; (2 )若CD=4,求 的值; (3 )若CD=6,过A 点作AM ∥CD 交CE 的延长线于M ,求 的值. 7 / 69 8.如图,△ ABC 中,AB=AC ,AD ∥BC ,CD⊥AC ,连BD ,交AC 于E . (1)如图(1),若∠BAC=60°,求 的值; (2 )如图(2 ),CF⊥AB 于F ,交BD 于G,求证:CG=FG; (3 )若AB=13 ,tan ∠ABC= ,直接写出EC 的长为 . 8 / 69 9 .在△ ABC 与△ ADE 中,点E 在BC 边上,AD= AE ,AG 为△ ADE 的中线,且∠EAG= ∠ACB ,∠DAG= ∠B . (1)如图1,求证:AB= AC ; (2 )如图2 ,点F 是AC 中点,连接DF,∠AFD= ∠DAE ,连接CD 并延长交AB 于点K ,过点D 作DQ ∥BC 交BK 于点Q. ①求证:点Q 为BK 的中点; ②试探究线段BE 与DQ 的数量关系,并证明你的结论. 9 / 69 10.△ ABC 中,AB=AC ,取BC 的中点D,做DE ⊥AC 与点E ,取DE 的中点F,连接BE,AF 交于点H . (1)如图1,如果∠BAC=90°,那么∠AHB= °, = ; (2 )如图2 ,如果∠BAC=60°,猜想∠AHB 的度数和 的值,并证明你的结论; (3 )如果∠BAC=α,那么 = .(用含α 表达式表

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