实变函数期末考试卷A卷.doc

实变函数期末考试卷A卷 实变函数期末考试卷A卷 PAGE ６ PAGEPAGE ７ 实变函数期末考试卷A卷 实变函数 得 分阅卷人 判断题（每题2分，共20分） 得 分 阅卷人 1.若是的真子集，则必有。 （×） 2.必有比小的基数。 （√） 3.一个点不是的聚点必不是的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若，则。 （×） 6.任何集都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若在可测集上可测，则在的任意子集上也可测。（×） 10.在上可积必积分存在。 （×） 1.设为点集，，则是的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设是一列可测集,且则（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若在上可测,则存在型集,在上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设是中无理数集，则 。 2.设，则 ， 。 3.设，则 ， 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 得分 阅卷人 5.设是上的集，则 。 6.设是闭集，是开集，则是 闭 集。 7.闭区间 上的有界函数可积的充要条件是 是上的几乎处处的连续函数 。 8. 函数是 可积也是 可积的。 三、计算题（每题10分，共20分） 1.计算。（提示：使用Lebesgue控制收敛定理） 解：设，则 因在上连续，所以是可测的； （2）； （3）因为 显然在上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有 2. 设试计算。 解：因为有理数集的测度为零，所以 于， 于。 于是 四、证明题（每题8分，共40分） 1. 证明： 证明： = 2. 设是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明是至多可列集。 证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。 3. 证明：若，则为可测集。 证明：对任意点集，显然成立着 。 另一方面，因为，而，所以，于是。又因为，所以，从而 。 总之，。故是可测集。 4. 可测集上的函数为可测函数充分必要条件是对任何有理数，集合是可测集。 一、填空题（每小题2分，共10分） （ D ）1、成立的充分必要条件是（ ） A、 B、 C、 D、 （ A ）2、设是闭区间中的无理点集，则（ ） 是不可测集 是闭集 （ C ）3、设是可测集，是不可测集，，则是（ ） 可测集且测度为零 可测集但测度未必为零 不可测集 以上都不对 （ B ）4、设，是上几乎处处有限的可测函数列，是上几乎处处有限的可测函数，则几乎处处收敛于是依测度收敛于的（ ） 必要条件 充分条件 充分必要条件 无关条件 （ D ）5、设是上的可测函数，则（ ） 是上的连续函数 是上的勒贝格可积函数 是上的简单函数 可表示为一列简单函数的极限 设是上的实值连续函数，则对于任意常数，是一开集，而总是一闭集。 证明：若，因为是连续的，所以存在，使任意， ， …………………………(5分) 即任意是开集…………………………（10分） 若且，由于连续，， 即，因此E是闭集。 （1）设求出集列的上限集和下限集 证明：…