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圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值
2 2
x y
例 1：Q1 ,Q2 为椭圆 1上两个动点，且 OQ OQ ，过原点 O 作直线 Q Q 的垂
2 2 1 2 1 2
2b b
线OD ，求 D 的轨迹方程 .
解法一（常规方法） ：设 Q (x , y ), Q (x , y ) ， D(x , y ) ,设直线 Q Q 方程为 y kx m ，
1 1 1 2 2 2 0 0 1 2
y kx m
联立 2 2 化简可得 :
x y
2 2 1
2b b
2 2 2 2 2 2 2 2
(2b k b )x 4 kmb x 2b (m b ) 0 ，所以
2 2 2 2 2 2 2
2b (m b ) b (m 2b k )
x x , y y
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2
2b k b 2b k b
因为 OQ1 OQ2 所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2b (m b ) b (m 2b k ) 2(m b ) m 2b k
x x y y 2 2 2 2 2 2 2 =0
1 2 1 2 2b k b 2b k b 2k 1 2k2 1
2 2 2
3m 2b (1 k )
又因为直线 Q Q 方程等价于为 y y x0 (x x x0 0x 2 对比于
) ， 即 y x y
1 2 0 0
y0 y0 y0 0
x0
k
y0 2 2 2 2
y kx m ，则 x
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