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《初等数论》习题集
第 1 章
第 1 节
1. 证明定理 1。
2. 证明：若 m p mn pq ，则 m p mq np。
3. 证明：任意给定的连续 39 个自然数，其中至少存在一个自然数，
使得这个自然数的数字和能被 11 整除。
3
4. 设 p 是 n 的最小素约数， n = pn1，n1 1，证明：若 p n ，则 n1
是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数 n，使得 n 不能表示为
2
a p （a 0 是整数， p 为素数）
的形式。
第 2 节
4 3 2
1. 证明： 12 n 2 n 11n 10n ，n Z 。
2. 设 3 a2 b2 ，证明： 3 a 且 3 b。
3. 设 n，k 是正整数，证明： nk 与 nk + 4 的个位数字相同。
2 2 2
4. 证明：对于任何整数 n，m，等式 n ( n 1) = m 2 不可能成立。
4 2
5. 设 a 是自然数，问 a 3a 9 是素数还是合数？
6. 证明：对于任意给定的 n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得
这个和能被 n 整除。
第 3 节
1. 证明定理 1 中的结论 ( ⅰ)— (ⅳ )。
2. 证明定理 2 的推论 1, 推论 2 和推论 3。
3. 证明定理 4 的推论 1 和推论 3。
4. 设 x ，y Z ， 17 2x 3y，证明： 17 9x 5y 。
2 2
5. 设 a，b， c N ，c 无平方因子， a b c ，证明： a b 。
1 3 2n 1
6. 设 n 是正整数，求 C2 n ,C 2n , , C 2n 的最大公约数。
第 4 节
1. 证明定理 1。
2. 证明定理 3 的推论。
3. 设 a，b 是正整数，证明： (a b)[a, b] = a[ b, a b] 。
4. 求正整数 a，b，使得 a b = 120 ，(a, b) = 24 ，[a, b] = 144 。
1
5. 设 a，b， c 是正整数，证明：
2 2
[a , b, c] ( a, b, c)
。
[a, b][ b, c][ c, a] (a, b )(b, c)( c, a )
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