运动的合成和分解---小船过河问题.pdf

小船过河问题经典习题 引语：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题。 轮船的渡河运动可看成水不动时轮船的 运动及般不动时被流水带动的轮船的运动的合运动。常见的有三种问题。 1、位移最小 河宽一定时， 轮船垂直河岸渡河位移最小 （如下图所示， 图中 v1 表示水不动时的船速， d d t v v sin v2 表示水速） 。此时船头 斜指向上游， 合速度 v 垂直河岸， 渡河时间 1 。 v2 cos 另外，从图中可知 v1 。因为 0 cos 1 ，所以只有 v2 v1 时才有此情况。 2、渡河时间最少 OA OB t 在河宽、 船速一定时， 在一般情况下， 渡河时间 v v1 ，因为 d OB ? sin d d t v sin 所以 1 。显然，当 90 时，渡河时间最小为 v ，此时，对应的渡河如图，即 船头的指向与河岸垂直，合运动沿 v 的方向进行。 3、船速最小 在这种情况下，讨论在船的航向确定时，船头如何指向，船在静水中的速度最小。 【典型例题】 【例】一条宽度为 L 的河，水流速度为 v水 ，已知船在静水中速度为 v 船 ，那么： （1）怎样渡河时间最短 （2 ）若 v 船 v水 ，怎样渡河位移最小 （3）若 v 船 v水 ，怎样渡河船漂下的距离最短 解析 ：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是 小船运动， 一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图 1 所示。设船头斜向上游与河岸 成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为 v1 v船 sin ，渡河所需要的时间 L L t 为 v1 v船 sin ，可以看出： L、v 船一定时， t 随 sin θ增大而减小；当 90 时， L tmin sin 1 （最大）。所以，船头与河岸垂直 v船 。 （2 ）如图 2 所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于 L，必须使船的合速 度 v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于 0。这时船头应指向河的上游，并 v水 arccos 与河岸成一定的角度θ，所以有 v船 cos v 水 ，即