化归与转化思想在解析几何中的应用.pdf

化归与转化思想在解析几何中的应用 赵鸿涛 解决数学问题实际上就是把条件一步步的向结论转化，也就是我们所说的“变换” ，因 此，著名数学家波利亚认为，解题过程主要是问题变化的过程“我们必须一再的变换它，重 新叙述它，变化它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止” . 高考的每一道题都是若 干个知识点综合的结果， 要想顺利地解出每一道题， 就要有把题目还原成单个知识点的能力， 也就是化归与转化的能力。 解析几何在高考中占有重要地位， 是考查学生数学能力和素养的 重要载体， 但很大一部分学生惧怕解析几何， 一是感到解析几何的运算量大， 二是对某些问 题无从下手。 下面我想以具体问题为例， 从三个方面来探求化归与转化思想在解析几何中的 应用 . 一 .抽象问题具体化 借助直观形象， 把一些抽象问题中各个量之间的关系形象化——也就是我们经常强调的 数形转换。 2 2 y 例 1.设实数 x , y 满足方程 x y 4x 4 y 7 0, （1）求 的取值范围； （2 ）求 xy 的最 x 大值 . 分析：首先可进行数 （方程）和形 （圆）之间的第一次转化： 方程 x2 y2 4x 4 y 7 0 表示的图形是以 (2, 2) 为圆心， 1 为半径的圆；接着可进行形（圆）和数（三角代换）之间 x 2 cos y 的第二次转化： , 0,2 ；然后进行数（ ， xy ）和形（直线的斜率， y 2 sin x y 2 sin sin ( 2) 二次函数）之间的第三次转化： 表示单位圆上的点与点 x 2 cos cos ( 2) ( 2, 2) 连线的斜率； xy (2 cos )(2 sin ) sin cos 2(sin cos ) 4 1 2 3 (t 2) （这里，令 sin cos t , t 2 ） 2 2 y 4 7 4 7 9 4 2 经过这三次转化，就不难求出 , ， xy 的最大值是 . x 3 3 2 5 例 2. 函数 y sin x 的值域是 __________. sin x 分析：这是一道学生很熟悉的题目，但是要真正既快又准的做出来对一大部分学生来说 还是有难度的，下面给出两种转换的思路 . 5 2 思路一：令 sin x t , 则 t 1,0 0,1 , y t t yt 5 0 .